Dado un triángulo $ABC$ con incentro $I$, sean $P$ en $AC$ tal que $PI\perp AC$ y $D$ el punto simétrico de $B$ con respecto al circuncentro del triángulo $ABC$. La recta $DI$ interseca nuevamente a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en el punto $Q$. Demostrar que $QP$ es la bisectriz del ángulo $\angle AQC$.
Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.
Notemos que $P$ es el punto de tangencia del incírculo de $ABC$ con $AC$, luego $EA=AP$ y $CF=PC$. Sean $E$ y $F$ los puntos de tangencia del incírculo con $AB$ y $BC$, respectivamente, entonces $IE\perp BE$ y también $IF\perp BF$, pero como $D$ es el simétrico de $B$ respecto al circuncentro de $ABC$, tenemos $IQ\parallel DQ\perp BQ$, por lo que $E,F,Q$ están en la circunferencia de diámetro $BI$. Entonces $\angle BEQ=\angle BFQ\Rightarrow \angle QEA=180^\circ -\angle BEQ=180^\circ -\angle BFQ=\angle QFC$, y $\angle EAQ=\angle BAQ=\angle BCQ=\angle FCQ$, de donde $\triangle AEQ\simeq \triangle CFQ$, por lo que $\frac{AQ}{QC}=\frac{EA}{CF}=\frac{AP}{PC}$, y por el Teorema de la Bisectriz, tenemos que $QP$ es la bisectriz de $\angle AQC$.
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