FOFO 6 años Problema 4

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Vladislao

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FOFO 6 años Problema 4

Mensaje sin leer por Vladislao » Vie 14 Oct, 2016 1:19 am

Sea [math] un triángulo con [math] y [math]. Sea [math] el punto medio de [math], y sea [math] un punto en el lado [math] tal que [math]. Si [math], determinar la longitud del segmento [math].
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

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Vladislao

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Re: FOFO 6 años Problema 4

Mensaje sin leer por Vladislao » Lun 17 Oct, 2016 12:03 am

Aquí publicaremos la solución oficial.
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

jujumas

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Re: FOFO 6 años Problema 4

Mensaje sin leer por jujumas » Lun 17 Oct, 2016 3:20 pm

Mi solución:
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Figura de análisis: https://gyazo.com/bf326d0377e34a5c02e4df895dc7bd4f

Usando la extensión del teorema del seno, como [math] es punto medio se nos cancela una razón y nos queda que [math]. Luego, sea [math], tenemos que [math], al tenerse que [math]. Sea ahora [math]. Usando el teorema del seno en [math] tenemos que [math]. Luego, [math]. Usando teorema del seno en [math], tenemos que [math]. Luego, [math], y [math], completando así la solución.

ktc123

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Re: FOFO 6 años Problema 4

Mensaje sin leer por ktc123 » Lun 17 Oct, 2016 7:06 pm

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Primero demostremos que el punto [math] se encuentra en el segmento [math]. Para ello, sea [math] el punto de intersección de la bisectriz de [math] con [math]. Por el teorema de la bisectriz se tiene que [math], con lo cual la longitud de [math] es mayor que la longitud de [math], es decir, que [math] se encuentra entre [math] y [math]. En particular, el ángulo [math] es menor que [math], y por ende, [math] también va a ser menor que [math]. Así con concluimos que [math] se encuentra entre [math] y [math].


Sea [math] la reflexión de [math] con respecto de [math]. También sea [math] en [math] tal que [math] y sea [math] la intersección de la semirrecta [math] con [math].


Está claro que [math] es un paralelogramo, y que por la simetría del problema [math] y [math]. Entonces [math] resulta ser ángulo semi-inscrito de [math], y [math] un segmento tangente a la circunferencia circunscripta de [math]. Por potencia del punto [math] con respecto a dicha circunferencia: [math] y [math]. Por el teorema de Menelao en [math]:

[math]

Finalmente, [math]
4  
¨Todos somos muy ignorantes. Lo que ocurre es que no todos ignoramos las mismas cosas¨

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Gianni De Rico

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Re: FOFO 6 años Problema 4

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Dom 13 Ene, 2019 2:41 pm

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Como $\angle ABD=\angle MBC$ y $M$ es punto medio, tenemos que $BD$ es la $B$-simediana de $\triangle ABC$, luego $\frac{DC}{4}=\frac{DC}{DA}=\frac{BC^2}{BA^2}=\frac{15^2}{10^2}\Rightarrow DC=9\Rightarrow AC=AD+DC=4+9=13$
[math]

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