Iberoamericana 2016 P5

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Iberoamericana 2016 P5

Mensaje sin leer por ésta » Mié 28 Sep, 2016 5:27 pm

Las circunferencias [math] y [math] se cortan en dos puntos distintos [math] y [math]. La tangente común a [math] y [math] más cercana a [math] toca a [math] en [math] y a [math] en [math]. Sean [math] el pie de la perpendicular desde [math] sobre [math], y [math] el pie de la perpendicular desde [math] sobre [math]. Si [math] y [math] son los puntos simétricos de [math] respecto de las rectas [math] y [math], respectivamente, pruebe que los puntos [math], [math] y [math] son colineales.
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Fran5

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Re: Iberoamericana 2016 P5

Mensaje sin leer por Fran5 » Jue 29 Sep, 2016 11:33 am

No está completo (pero la idea sí)
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[math] es mediana de [math], y no es dificil ver que [math], con lo cual [math] es cíclico con [math]. Luego [math] es simediana.

Queremos ver entonces que [math] también es simediana de [math], pero como [math] y [math] son semejantes, queremos ver que [math] es mediana de [math] y [math] es su simediana.

Si [math] es el ortocentro de [math] tenemos que [math] es cíclico con [math]

Luego [math] y [math] son cíclicos.

Sólo queda hacer unos angulitos para comprobar que [math] es simediana de [math] y el problema sigue.
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Violeta

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Re: Iberoamericana 2016 P5

Mensaje sin leer por Violeta » Jue 13 Jul, 2017 11:52 pm

Fran5 escribió:No está completo (pero la idea sí)
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[math] es mediana de [math], y no es dificil ver que [math], con lo cual [math] es cíclico con [math]. Luego [math] es simediana.

Queremos ver entonces que [math] también es simediana de [math], pero como [math] y [math] son semejantes, queremos ver que [math] es mediana de [math] y [math] es su simediana.

Si [math] es el ortocentro de [math] tenemos que [math] es cíclico con [math]

Luego [math] y [math] son cíclicos.

Sólo queda hacer unos angulitos para comprobar que [math] es simediana de [math] y el problema sigue.
La mia es, en esencia, la misma a la tuya, pero toma una ruta media diferente para probar que
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[math] es mediana de [math].
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Vemos que [math] y sigue que [math] es ciclico, de donde [math] y similarmente [math]. Entonces sigue que [math] es simediana de [math] (por definicion de simediana, ya que [math] es trivialmente la mediana de [math]). Ahora, se puede probar que [math] es mediana de [math], un lema que pruebo aqui: https://omaforos.com.ar/viewtopic.php?f ... 349#p17349

Ahora, digamos que [math] y [math] se intersecan en [math]. [math] y [math], de donde, [math]. Pero ahora bien: [math]. Entonces, [math] es ciclico y sigue que [math] y [math] es ciclico, pero como [math] es cilcio (pues [math]), sigue que [math] es ciclico.

Ahora, marquemos otro punto [math] que sea la interseccion de las circunferencias tangentes a [math] que pasan por [math] y [math]. Luego, si [math] es la interseccion de [math] y [math], sigue que [math] y [math] es mediana de [math], de donde [math] con colineales.

Ahora, bien, ya que tenemos que [math] son colineales, que [math] es el punto de interseccion de las circunferencias tangentes a [math] que pasan por [math] y [math] y como [math] es ciclico: [math] y similarmente se prueba que [math]. Como [math], [math] es el reflejo de [math] con respecto a [math], de donde [math] y [math] son colineales.
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.

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Gianni De Rico

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Re: Iberoamericana 2016 P5

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mié 29 May, 2019 3:51 pm

Solución:
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Sean $M$ el punto medio de $BC$, $D$ la reflexión de $A$ por $M$, y $H$ el ortocentro de $\triangle ABC$. Sean $\Gamma$ el circuncírculo de $\triangle BHC$, $\Omega$ el circuncírculo de $\triangle ABC$ y $\omega$ el circuncírculo de $\triangle APQ$.

Notemos primero que $MB=MC\Rightarrow {MB}^2={MC}^2\Rightarrow \text{Pot}(M,C_1)=\text{Pot}(M,C_2)$ pues $MB$ y $MC$ son tangentes a $C_1$ y a $C_2$, respectivamente. Luego, $M$ está en el eje radical de $C_1$ y $C_2$, que es $AK$, por lo que $AK$ es mediana de $\triangle ABC$, y $A,K,M,D$ son colineales.
Como $HP\perp AP$ y $HQ\perp AQ$, tenemos que $H\in \omega$, de donde $\angle BHC=\angle PHQ=180°-\angle BAC=180°-\angle BDC$, por lo que $D\in \Gamma$. Pero como $M$ es el punto medio de $AB$, tenemos que $ABDC$ es un paralelogramo, por lo que $DC\parallel AB\perp HC$, es decir que $HD$ es diámetro de $\Gamma$.
Veamos que $K\in \Gamma$. En efecto, tenemos que $\angle KBC=\angle KAB$ y $\angle KCB=\angle KAC$ por ser ángulos semiinscriptos en $C_1$ y $C_2$, respectivamente. Luego $\angle BKC=180°-\angle KBC-\angle KCB=180°-\angle KAB-\angle KAC=180°-\angle BAC=\angle BHC$, por lo que $K\in \Gamma$. Entonces $HK\perp KD\parallel AK$, por ser $HD$ diámetro de $\Gamma$, luego, $K\in \omega$. Además, $\angle BFC=\angle BKC=180°-\angle BAC$, por lo que $F\in \Omega$.

Ahora, como $BP\perp PC$ y $CQ\perp QB$, tenemos que $BCPQ$ es cíclico, luego $BC$ y $PQ$ son antiparalelas respecto de $AB$ y $AC$, y como $AK$ es mediana de $\triangle ABC$, resulta que $AK$ es simediana de $\triangle APQ$.
Veamos que $F$ es el pie de la $A$-simediana en $\Omega$. En efecto, por reflexión tenemos que $FC=KC$, entonces $\frac{FC}{CA}=\frac{KC}{CA}$. Ahora, $MA\cdot MK=\text{Pot}(M,C_1)=MC^2\Rightarrow \frac{MA}{MC}=\frac{MC}{MK}$, y como $\angle AMC=\angle CMK$, tenemos que $\triangle AMC\simeq \triangle CMK$, luego $\frac{KC}{CA}=\frac{MC}{AM}=\frac{BC}{2AM}$, pues $M$ es punto medio de $BC$, por lo tanto $\frac{FC}{CA}=\frac{BC}{2AM}$. Análogamente, $\frac{FB}{BA}=\frac{BC}{2AM}$. Luego, $\frac{FC}{CA}=\frac{FB}{BA}\Rightarrow \{A,F;C,B\}=\frac{AC\cdot FB}{CF\cdot BA}=-1$, por lo que $ACFB$ es armónico, de donde $F$ es el pie de la $A$-simediana en $\Omega$.
Como $K$ es la reflexión de $F$ por $BC$, hemos demostrado el siguiente hecho:


Para todo triángulo $XYZ$, si $S$ es el pie de la $X$-simediana en $\odot XYZ$, entonces el reflejo de $S$ por $YZ$ está sobre la $X$-mediana de $XYZ$.


Aplicando esto en el triángulo $APQ$, tenemos que $AE$ es mediana de $\triangle APQ$. Pero como $PQ$ y $BC$ son antiparalelas respecto de $AB$ y $AC$, tenemos que $AE$ es simediana de $\triangle ABC$. Luego, $A,E,F$ están alineados sobre la $A$-simediana de $\triangle ABC$.
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[math]

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