Regional 2016 N3 P3

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Matías V5

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Regional 2016 N3 P3

Mensaje sin leer por Matías V5 » Mié 14 Sep, 2016 6:00 pm

El triángulo equilátero [math] de lado [math] se dividió en dos partes de áreas iguales mediante un segmento [math] paralelo a [math], con [math] en [math] y [math] en [math], y también se dividió en dos partes de áreas iguales mediante un segmento [math] paralelo a [math], con [math] en [math] y [math] en [math].
Calcular la medida del segmento [math].
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"La geometría es el arte de hacer razonamientos correctos a partir de figuras incorrectas." -- Henri Poincaré

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Violeta

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Re: Regional 2016 N3 P3

Mensaje sin leer por Violeta » Mié 14 Sep, 2016 8:05 pm

Contestacion:
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[math]
Pongo la solucion luego, tengo cosas de la escuela que hacer primero.
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.

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Violeta

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Re: Regional 2016 N3 P3

Mensaje sin leer por Violeta » Jue 15 Sep, 2016 12:54 pm

Solucion:
Spoiler: mostrar
Regional2016_N3P3.PNG
Sea [math] y [math]. Entonces [math].

Notamos que [math] y [math] son triangulos equilateros con un area de [math]. Hay una formula conocida que dice que el area de un triangulo equilatero es [math], con [math] la medida del lado del triangulo. Resolviendo esto en los triangulos [math] y [math], se tiene que [math].

Ahora veamos:

[math]
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Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.

yain.arias
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Re: Regional 2016 N3 P3

Mensaje sin leer por yain.arias » Vie 07 Sep, 2018 10:36 pm

Mi solución fue esta:
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Para comenzar, notamos que al trazar $\overline{FG}$, al igual que cuando se traza $\overline{DE}$, se forman dos triángulos semejantes a ABC. Ahora bien, sabemos que la razón entre sus áreas es de $\frac{1}{2}$ (considerando a AFG y a DCE con respecto a ABC). Luego, la razón entre sus lados es $\frac{1}{\sqrt{2}}$.
Dado que FG y DE son equidistantes de sus lados correspondientes paralelos (de no ser así, tendrían diferentes áreas entre ellos), vemos que $\overline{BE}$ = $\overline{AD}$ = $\overline{BG}$ = $\overline{CF}$ = 1 - $\frac{1}{\sqrt{2}}$, que es el lado de ABC menos el lado de los triángulos semejantes.
Finalmente, $\overline{AD}$ + $\overline{CF}$ + $\overline{DF}$ = 1
Es decir, (1 - $\frac{1}{\sqrt{2}}$) + (1 - $\frac{1}{\sqrt{2}}$) + $\overline{DF}$ = 1 $\Rightarrow$ $\overline{DF}$ = $\sqrt{2}$ - 1
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