P19 - Nivel 2 - Fase Intercolegial Perú 2015

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Emerson Soriano

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P19 - Nivel 2 - Fase Intercolegial Perú 2015

Mensaje sin leer por Emerson Soriano » Sab 17 Oct, 2015 7:26 pm

Sea [math] un punto en el interior de un triángulo [math] tal que [math], [math], [math] y [math]. Determine el valor de [math].

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DiegoLedesma
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Re: P19 - Nivel 2 - Fase Intercolegial Perú 2015

Mensaje sin leer por DiegoLedesma » Mar 01 May, 2018 7:15 pm

Spoiler: mostrar
Con Ceva trigonométrico y algunas relaciones trigonométricas sale rápido.
Al ser $AP=PC$ $\Rightarrow$ $P\hat{A}C=A\hat{C}P$
Por Ceva: $\frac{sen(P\hat{A}B)}{sen(P\hat{A}C)}.\frac{sen(A\hat{C}P)}{sen(70°)}.\frac{sen(30°)}{sen(20°)}=1$
Cancelando y sabiendo que $sen(70°)=cos(20°)$, y $sen(2\alpha)=2sen(\alpha)cos(\alpha)$, tenemos:
$sen(P\hat{A}B)=2.sen(20°).cos(20°)$ $\Rightarrow$ $sen(P\hat{A}B)=sen(40°)$
$\therefore$ $P\hat{A}B=40°$

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