Selectivo de Ibero 2015 Problema 4

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Gianni De Rico

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Re: Selectivo de Ibero 2015 Problema 4

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Vie 01 Mar, 2019 7:17 pm

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Como $ABCD$ es un cuadrado tenemos que $O$ es el punto medio de $BD$, luego $EO$ es la base media correspondiente a $AB$ en $\triangle ABD\Rightarrow EO\parallel AB\Rightarrow \angle DOE=\angle DBA=45°$, por arco capaz $\angle EFB=\angle CFB=\angle CDB=45°$, luego $BOEF$ es cíclico. Sean $\Omega$ y $\Gamma$ los circuncírculos de $ABCD$ y $BOEF$ respectivamente.
La inversión por $\Omega$ deja fijos $A,B,C,D,F$ y manda $E$ a $E'$ y $H$ a $H'$. Luego $AODE'H'$ es cíclico y su circuncírculo es $\Theta$. Entonces $HO\cdot HH'=\text{Pot}(H,\Theta )=HA\cdot HE=\text{Pot}(H,\Omega )=HB\cdot HF$, de donde $BOFH'$ es cíclico, luego $BOEFH'$ es cíclico, por lo que $B,H,F,E'$ son colineales. Como $\angle AOD=90°$ tenemos que $AD$ es un diámetro de $\Theta$, luego $E$ es el centro de $\Theta$, por lo que $OE=EE'$, y por Thales $\frac{AH}{HE}=\frac{AB}{EE'}=\frac{AB}{EO}=2$, entonces $AH=2HE\Rightarrow \frac{AH}{AE}=\frac{AH}{AH+HE}=\frac{2HE}{3HE}=\frac{2}{3}$, por lo tanto $\frac{AH}{AD}=\frac{AH}{2AE}=\frac{1}{2}\frac{AH}{AE}=\frac{1}{3}\Rightarrow AH=\frac{1}{3}AD\Rightarrow HD=AD-AH=AD-\frac{1}{3}AD=\frac{2}{3}AD=2\frac{1}{3}AD=2AH$
[math]

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