Dos rectas, dos tangentes y dos polares

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Fran5

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Dos rectas, dos tangentes y dos polares

Mensaje sin leer por Fran5 » Mar 10 Mar, 2015 11:52 am

Sea [math] un triángulo. [math] su incentro y [math] los puntos de contacto del incírculo con [math] respectivamente.
La recta [math] interseca al segmento [math] en [math]
[math] es el punto medio de [math]. [math] interseca al incírculo en los puntos [math] y [math]
Sea [math] una recta variable que pase por [math] e interseque al incírculo en los puntos [math] y [math]
La recta [math] interseca al incírculo nuevamente en [math]
La recta [math] interseca al incírculo nuevamente en [math]

Demostrar que las siguientes seis rectas concurren en un mismo punto
-La recta [math]
-La recta [math]
-La tangente al incírculo por [math]
-La tangente al incírculo por [math]
-La recta polar de [math]
-La recta polar de [math]
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Gianni De Rico

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Re: Dos rectas, dos tangentes y dos polares

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Jue 19 Jul, 2018 12:58 pm

Dualidad FTW
Spoiler: mostrar
Veamos que $A,P,G,Q,M$ son colineales
Spoiler: mostrar
La paralela a $BC$ por $G$ corta a $AB$ en $B'$ y a $AC$ en $C'$. Como $IF\perp AB',IE\perp AC'$ por tangencias y $B'C'\parallel BC\perp IG$ tenemos que $B'GIF$ y $AEIF$ son cíclicos, de esto $C'\widehat{B'}I=G\widehat{B'}I=G\widehat FI=E\widehat FI=E\widehat AI=C'\widehat AI$ por lo que $AB'IC'$ es cíclico. Como $AI$ es bisectriz de $B'\widehat AC'$ resulta $B'I=C'I$ y como $IG\perp B'C'$ tenemos que $G$ es el punto medio de $B'C'$
La homotecia que manda $B'C'$ a $BC$ manda el punto medio $G$ de $B'C'$ al punto medio $M$ de $BC$, por lo tanto, $A,G,M$ son colineales. Entonces $P,G,Q$ están sobre la recta $AM$, y $A,P,G,Q,M$ son colineales.
Ahora, $A,P,Q$ son colineales y $AE,AF$ son tangentes al incírculo desde $A$, luego, $PEQF$ es armónico y las tangentes al incírculo por $P,Q$ y la recta $EF$ concurren en $H$. Como $EF$ es la polar de $A$ y $PQ$ es la polar de $H$, tenemos que $AH$ es la polar de $G$. Hasta ahora concurren en $H$:
-La tangente al incírculo por $P$
-La tangente al incírculo por $Q$
-La recta polar de $A$
-La recta polar de $G$

Por Brokard, $V_1W_1$ y $V_2W_2$ se cortan sobre la polar de $G$, que es $AH$. Pero $V_1W_1$ pasa por $A$, luego, $V_2W_2$ pasa por $A$. Entonces por Brokard $V_1V_2$ y $W_1W_2$ se cortan sobre un punto $H'$ que es el ortocentro de $\triangle AGI$, pero por Brokard (again) el ortocentro de $\triangle AGI$ es $H$, luego $H'\equiv H$, entonces $V_1V_2$ y $W_1W_2$ pasan por $H$

Finalmente concurren en $H$:
-La recta $V_1V_2$
-La recta $W_1W_2$
-La tangente al incírculo por $P$
-La tangente al incírculo por $Q$
-La recta polar de $A$
-La recta polar de $G$

QED
[math]

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