Otro problema geométrico inventado

jujumas

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Otro problema geométrico inventado

Mensaje sin leer por jujumas » Vie 26 Dic, 2014 2:40 am

Este es un problema que inventé al leer incorrectamente un enunciado que fue posteado hace poco en el foro de problemas de geometría. No lo considero un problema difícil, pero me resultó interesante. Buena parte del problema es exactamente igual al original.

Consideremos un pentagono convexo ABCDE tal que

[math]BAC=[math]CAD=[math]DAE

[math]ABC=[math]ACD=[math]ADE
.

Sea P el punto de intersección de las rectas ED y BC. Calcular [math]ADE sabiendo que el ángulo [math]DPC
tiene 20º de amplitud y que AP pasa por el punto medio de DC.



Sigo sin saber usar bien la guía para escribir símbolos correctamente, así que hice lo que pude.

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DiegoLedesma
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Re: Otro problema geométrico inventado

Mensaje sin leer por DiegoLedesma » Lun 11 Mar, 2019 11:55 pm

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A partir de los ángulos dados, se puede deducir que $\hat{ACB}=\hat{ADC}$. Al ser $\hat{ADE}+\hat{ADC}=\hat{BCA}+\hat{ACD}$, se tiene que $\hat{CDE}=\hat{BCD}$, luego $\hat{CDP}=\hat{DCP}$ (por ser adyacentes de $\hat{CDE}$ y $\hat{BCD}$, respectivamente), pero $\hat{CPD}=20º$, con lo que $\hat{CDP}=\hat{DCP}=(180º-20º)/2=80º$.
Sea $Q$ el punto medio de $CD$. Tenemos luego que $PQ$ es altura de $\bigtriangleup$ $CPD$ isósceles, pero también es altura y mediana de $\bigtriangleup$ $CAD$, con lo que $AC=AD$, y $\hat{ACD}=\hat{ADC}$
$\therefore$ $\hat{ADE}=\hat{AED}=(180º-80º)/2=50º$.

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