"Copiado" del P3-OMM2014

ricarlos
Mensajes: 426
Registrado: Lun 17 Dic, 2012 2:24 pm

"Copiado" del P3-OMM2014

Mensaje sin leer por ricarlos »

Sea [math] un trapecio isosceles con [math].
[math] y [math] intersectan en [math]. Por [math] y [math] dos rectas paralelas a [math] y [math], respectivamente, intersectan en [math].
[math] y [math] intersectan en [math]. Sea [math] un punto sobre [math], en el orden (Q,C,R,S),de modo que [math] sea punto medio de [math] Demostrar que [math], [math] y [math] concurren.
Spoiler: mostrar
Basicamente es el P3 de la Olimpiada Mexicana de Matematicas 2014
Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.
Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial-FOFO 7 años OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO 9 años - Jurado-FOFO 9 años COFFEE - Jurado-COFFEE Matías Saucedo OFO - Jurado-OFO 2020
FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Jurado-COFFEE Carolina González COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber COFFEE - Jurado-COFFEE Iván Sadofschi FOFO 10 años - Jurado-FOFO 10 años
OFO - Jurado-OFO 2021 FOFO 11 años - Jurado-FOFO 11 años OFO - Jurado-OFO 2022 FOFO Pascua 2022 - Jurado-FOFO Pascua 2022 FOFO 12 años - Jurado-FOFO 12 años
OFO - Jurado-OFO 2023 FOFO 13 años - Jurado-FOFO 13 años OFO - Jurado-OFO 2024
Mensajes: 2212
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 18
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

Re: "Copiado" del P3-OMM2014

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Spoiler: mostrar
OMM 2014 P3.png
Sea $X=DS\cap BQ$.
Por ángulos entre paralelas, $C\widehat RB=D\widehat AB=C\widehat BA$, y también, $C\widehat RB=C\widehat QP=C\widehat BR=C\widehat PQ$.Luego, $CR=CB$ y $CP=CQ$, como además $P\widehat CR=Q\widehat CB$, resulta $\triangle RPC=\triangle BQC\Rightarrow RP=BQ$ y $RBQP$ es un trapecio isósceles. Por lo tanto $RP$ y $BQ$ se intersectan en la mediatriz de $BR$. Como $CR=CB$, entonces $C$ pertenece a la mediatriz de $BR$.
Sea $M$ el punto medio de $AR$. Como $CR\parallel AD$ y $CD\parallel AR$, entonces $ARCD$ es un paralelogramo, y por lo tanto $AD=CR=RS$. Como además $AD\parallel RS$, entonces $ADRS$ es un paralelogramo. Luego, $D$, $M$, $S$ son colineales.
Sea $M'$ el reflejo de $M$ por $R$. Como $MR=\frac{1}{2}CD$, entonces $MM'=CD$, y por lo tanto $MM'CD$ es un paralelogramo. Sea $X'$ tal que $MM'X'X$ es un paralelogramo, entonces $X'$, $C$, $M'$ son colineales y $DCX'X$ es un paralelogramo. Luego $X'X=CD$, entonces la traslación que lleva $M'$ a $M$ y $C$ a $D$ lleva $X'$ a $X$, y la paralela a la mediatriz de $BR$ a la mediatriz de $BR$, es decir que lleva $X'$ a la mediatriz de $BR$. Pero como también lleva $X'$ a $X$, entonces $X$ está en la mediatriz de $BR$. Por lo tanto $DS$ y $BQ$ se intersectan sobre la mediatriz de $BR$, pero como $BQ$ y $RP$ se intersectan sobre la mediatriz de $BR$. Resulta que $DS$, $BQ$ y $RP$ concurren.
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
Responder