Olimpiada Mexicana de Matemáticas 2014 - Problema 3

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Emerson Soriano

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Olimpiada Mexicana de Matemáticas 2014 - Problema 3

Mensaje sin leer por Emerson Soriano »

Sean [math] una circunferencia y [math] un punto fuera de [math]. Las tangentes desde [math] a [math] tocan a la circunferencia en los puntos [math] y [math]. Considera [math] el punto medio del segmento [math] y [math] la circunferencia que pasa por los puntos [math] y [math]. La recta [math] interseca de nuevo a [math] en el punto [math], la recta [math] interseca de nuevo a [math] en el punto [math], el segmento [math] interseca de nuevo a [math] en el punto [math] y la recta [math] interseca a [math] en el punto [math] (con [math] entre [math] y [math]). Demuestre que las rectas [math] y [math] concurren.
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Gianni De Rico

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Re: Olimpiada Mexicana de Matemáticas 2014 - Problema 3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

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Sea $G$ el segundo punto de intersección de $BC$ con $\Gamma _1$ (existe pues $BC$ no es tangente), y sea $E'$ el segundo punto de intersección de $PG$ con $\Gamma _2$, entonces por potencia de un punto tenemos$$MG\cdot MB=MA^2=MA\cdot MP=MC\cdot MB$$de modo que $MG=MC$, es decir que $AGPC$ es un paralelogramo. Sea $O$ el centro de $\Gamma _1$, entonces $\angle PAO=90^\circ =\angle PBO$ al ser $PA$ y $PB$ tangentes a $\Gamma _1$, se sigue que $PAOB$ es cíclico. Sea $\angle CGA=\alpha$, entonces $\angle BDA=\alpha$, así que $\angle BOA=2\alpha$, por lo que $\angle ACG=\angle ACB=180^\circ -2\alpha$, luego, $\angle GAC=\alpha$ y por lo tanto $CA=CG$. Por potencia de un punto se sigue que $CD=CB$, así que $BE\parallel BD\parallel AG\parallel PC$, donde el último paralelismo vale por se $AGPC$ un paralelogramo, lo que además implica que $GP=AC=GC$, y nuevamente por potencia de un punto tenemos que $GE'=GB$, de modo que $BE'\parallel PC$. Como $E,E'\in \Gamma _2$, se sigue que $E\equiv E'$, entonces $E,F,G$ están alineados. Aplicando Pascal en el hexágono $DAFGBB$ tenemos lo pedido (llamar $H=AF\cap PB$ y ver qué pasa).
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♪♫ do re mi función lineal ♪♫
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