Uno "manejable" sobre LG.

ricarlos
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Uno "manejable" sobre LG.

Mensaje sin leer por ricarlos » Vie 12 Sep, 2014 11:14 am

Sean [math] una circunferencia y [math] un punto fijo cualquiera en su interior. Sea [math] una cuerda variable de [math] pero que siempre contiene a [math]. Las tangentes por [math] y [math] intersectan en [math]. Determinar el lugar geometrico de [math].
Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.

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Vladislao

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Re: Uno "manejable" sobre LG.

Mensaje sin leer por Vladislao » Jue 05 Mar, 2015 7:09 pm

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Es una recta. La polar de [math] (es decir, la recta perpendicular a [math] que pasa por el inverso de [math] respecto de la circunferencia).

La demostración es bastante directa. Si [math] está en esa recta, entonces [math] está en la polar de [math], y por lo tanto, [math] está en la polar de [math]. Como la polar de [math] es la recta [math], resulta que [math] está en [math]. Si fuera que [math] está en [math], recíprocamente, [math] está en la polar de [math], y por lo tanto [math] está en la polar de [math]. Es decir, [math] está en la recta que decíamos.
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Por supuesto que esto sale haciendo sólo angulitos. Son muy muy directos teniendo en mente la idea anterior.
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

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