Se encontraron 2037 coincidencias

por Gianni De Rico
Mar 05 Dic, 2023 7:44 pm
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: Rioplatense 2023 NA P3
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Re: Rioplatense 2023 NA P3

Idea alternativa cambiando el signo Vamos a mirar módulo $7$. Si tenemos un primo $p$, la calculadora devuelve $p^2+6$, que es mayor que $7$ porque $p$ es al menos $2$, entonces si en algún momento nos da múltiplo de $7$ ya perdimos. Ahora simplemente vemos los $7$ casos y comprobamos que si $p$ tie...
por Gianni De Rico
Sab 02 Dic, 2023 10:22 pm
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: Selectivo Cono Sur 2008 P1
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Re: Selectivo Cono Sur 2008 P1

Ulis7s escribió: Sab 02 Dic, 2023 7:28 pm Estrategia ganadora para este ejercicio:
Comentario aparentemente irrelevante pero que en realidad es muy importante:

SON PROBLEMAS, NO EJERCICIOS.

Muchas gracias.
por Gianni De Rico
Mié 29 Nov, 2023 9:56 pm
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: Provincial 2001 P2 N3
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Re: Provincial 2001 P2 N3

Tenemos que\begin{align*}n & =19\left (1+19+19^2\right )\left (1+19^3+19^6+\cdots +19^{1998}\right ) \\ & =19\cdot 381\cdot \left (1+19^3+19^6+\cdots +19^{1998}\right ), \end{align*}con lo que $n\equiv 0\pmod{381}$. Tenemos que\begin{align*}n & =(1+19)\left (1+19^2+19^4+\cdots +19^{2000...
por Gianni De Rico
Mar 28 Nov, 2023 2:03 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Entrenamiento Iberoamericana 2023 P38
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Re: Entrenamiento Iberoamericana 2023 P38

Sean $I=AP\cap BC$, $J=AP\cap EF$ y $K=EF\cap BC$. Sabemos que $(K,J,E,F)$ es una cuaterna armónica entonces si $AP\perp BC$ tenemos que el circuncirculo de $KIJ$ es la circunferencia de Apolonio respecto de $E,F$, luego sabemos que $\angle JIE=\angle JIF$(1) y como es fácil ver que $AEIDF$ es cícl...
por Gianni De Rico
Lun 27 Nov, 2023 2:05 pm
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: Entrenamiento Iberoamericana 2023 P25
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Re: Entrenamiento Iberoamericana 2023 P25

Notemos primero que el enunciado vale para $a=1$, pues en ese caso $a^m-1=0$ para todo $m\in \mathbb{N}$, que es divisible por todos los primos, y en particular por uno que no está en $A$ (pues $A$ es finito y los primos son infinitos). Supongamos ahora que $a>1$, y sea $n$ la cantidad de elementos...
por Gianni De Rico
Dom 26 Nov, 2023 5:10 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Entrenamiento Iberoamericana 2023 P18
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Re: Entrenamiento Iberoamericana 2023 P18

No dejaron pasar ni un año antes de volver a usar Rioplatense 2022 N2 P3.
por Gianni De Rico
Dom 26 Nov, 2023 11:19 am
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: Rioplatense 2008 N3 P4
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Re: Rioplatense 2008 N3 P4

Para cada $n\in \{0,\ldots ,11\}$, consideramos el conjunto$$\{n+1\}\cup \bigcup \limits _{\begin{matrix}k\equiv n\pmod{12} \\ k\in \mathbb{N}_0\end{matrix}}\{13\cdot 2^k,\ldots ,13\cdot 2^{k+1}-1\}.$$Esto funciona porque para cada $n$ tenemos que la razón entre $13\cdot 2^n$ y $n+1$ es mayor que $...
por Gianni De Rico
Sab 25 Nov, 2023 4:54 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: XX Rioplatense N2 P3
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Re: XX Rioplatense N2 P3

Sea $H$ el punto de intersección de $AC$ y $BD$, y sea $G$ el segundo punto de intersección de la paralela a $AB$ por $H$ con el circuncírculo de $CDH$ (puede coincidir con $H$ si resulta que la tangente por $H$ es paralela a la recta $AB$). Es claro que $G$ es fijo. Tenemos que\begin{align*}D\wide...