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Sean $ABCD$ un cuadrado y $M$ el punto medio del lado $BC$. Sea $P$ el punto de $DM$ tal que $AP$ es perpendicular a $DM$. Calcular $\frac{DP}{DM}$.

Aquí publicaremos la solución oficial.

Pregunta: ¿A que se refiere en el problema 6 cuando dice "Contadas con multiplicidad"? Es decir que todas las raices son las mismas, o que los casos donde hay multiplicidad tambien se consideran? Quiere decir que si en la lista $a_0, a_1, ..., a_{n-1}$ el número $r$ aparece $t$ veces, ent...

Hallar todos los polinomios no constantes$$x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0$$con coeficientes enteros con raíces $a_0,a_1,\ldots ,a_{n-1}$ (contadas con multiplicidad).

a) ¿Es posible ubicar cuatro triángulos equiláteros en el plano de forma tal que cualesquiera dos de ellos tengan exactamente un vértice en común y todo punto del plano pertenezca al perímetro de a lo sumo dos de ellos? b) ¿Es posible ubicar cuatro cuadrados en el plano de forma tal que cualesquiera...

Sea $AD$ la bisectriz interior del triángulo $ABC$. Los incírculos de los triángulos $ABC$ y $ACD$ son exteriormente tangentes. Demostrar que $\angle ABC > 120^{\circ}$. (Recordemos que el incírculo de un triángulo es un círculo en su interior que es tangente a sus tres lados.)

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que $AB = BC = CD$ y $\angle BDE = \angle EAC = 30^{\circ}$. Hallar todos los valores posibles de $\angle BEC$.

Sea $ABCD$ ($AB\parallel CD$) un trapecio isósceles. Sean $E$ y $F$ puntos en los lados $BC$ y $AD$ y sean $M$ y $N$ puntos en el segmento $EF$ tales que $DF = BE$ y $FM = NE$. Sean $K$ y $L$ los pies de las perpendiculares desde $M$ y $N$ a $AB$ y $CD$, respectivamente. Demostrar que $EKFL$ es un p...

Hallar los ángulos del pentágono $ABCDE$ en la figura:

Sea $c$ una constante tal que para toda permutación $a_1, a_2, ..., a_n, ...$ de los enteros positivos, existen infinitos $i$ que cumplen $\text{mcd}(a_i, a_{i+1})\leq ci$. Hallar el menor valor posible de $c$.