Se encontraron 33 coincidencias

por Gabriel Bernal
Jue 27 Ago, 2020 4:06 pm
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: Rioplatense 2019 NA P4
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Re: Rioplatense 2019 NA P4

Contemos cuántos días cumplen $DD+MM=AA$. Hay $365$ posibles valores de $DD$ y $MM$ y para cada uno de ellos hay exactamente un año que cumple. $DD+AA=MM$ se cumple sólo si $DD\leq11$. Por ende para $DD=1$ hay 11, para $DD=2$ hay 10, y así, esto es $\frac{11\times12}{2}=66$. Para $MM+AA=DD$ notemos...
por Gabriel Bernal
Mié 08 Jul, 2020 11:25 am
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: Nacional 1994 Nivel 1 (P3)
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Re: Nacional 1994 Nivel 1 (P3)

Como hay $16$ cuadrados de $1\times 1$ y un fósforo está en a lo sumo $2$ cuadrados de $1\times 1$, se deben sacar sí o sí $8$ fósforos. Además, si se sacan sólo $8$, el cuadrado de $4\times 4$ seguirá estando, ya que los bordes del cuadrado de $4\times 4$ son fósforos que están en sólo un cuadrado...
por Gabriel Bernal
Dom 05 Jul, 2020 5:55 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Provincial (Metropolitana) 2000 - Nivel 2 - Problema 2
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Re: Provincial (Metropolitana) 2000 - Nivel 2 - Problema 2

Trazo la paralela a $AR$ por $C$ y la paralela a $DP$ por $B$. Las intersecciones de $AR$ y sus dos paralelas dividen al lado $DA$ en tres partes iguales y lo mismo pasa con las otras tres paralelas pero con el lado $CD$. Esto es así porque $AWSR$ y $WVCS$ son paralelogramos y $DV=AD-AW-WV=AD-2AW=A...
por Gabriel Bernal
Dom 05 Jul, 2020 5:31 pm
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: Nacional 2009 N3 P1
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Re: Nacional 2009 N3 P1

Si hay $3n$ puntos de un mismo color Iván puede marcar el centro de la circunferencia y trazar radios para formar $n$ arcos, cada uno con $3$ puntos del mismo color. Ahora es claro que Iván, uniendo los puntos que estén en el mismo grupo, puede marcar $n$ triángulos monocromáticos. Si hay $3n+1$ o ...
por Gabriel Bernal
Mié 17 Jun, 2020 1:07 pm
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: Nacional 1995 Nivel 3 (P6)
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Re: Nacional 1995 Nivel 3 (P6)

Lo edité varias veces pero ahora sí. Es claro que la hormiga recorrerá como mucho $27$ varillas. Ahora dividamos la estructura en tres pisos de $9$ coyunturas (cada uno con coordenadas $(a,b,0)$; $(a,b,1)$; $(a,b,2)$) y al resto de varillas llamémoslas columnas. Por un lado la cantidad de columnas e...
por Gabriel Bernal
Lun 08 Jun, 2020 11:49 am
Foro: Problemas Archivados de Álgebra
Tema: COFFEE "Ariel Zylber" - Problema 3
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Re: COFFEE "Ariel Zylber" - Problema 3

Tomamos $x=y=0$ y $f(0)=0$. Con $x=0$ se llega a $-f(-y^2)=yf(y)$ y con $y=0$, $f(x^2)=xf(x)$. Con $t=x^2$ e igualando ambas expresiones tengo $f(t)=-f(-t)$. Tomo $y=-y$ (y usando lo recién visto) llego a $f(x^2-y^2)=(x-y)(f(x)+f(y))$. Pero vemos que esto se puede igualar a la ecuación original, po...
por Gabriel Bernal
Mié 27 May, 2020 12:51 pm
Foro: Problemas Archivados de Álgebra
Tema: Provincial 2006 - Nivel 3 - Problema 1
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Re: Provincial 2006 - Nivel 3 - Problema 1

Veamos que las fracciones de Magalí son de la forma $\frac{x^2}{2x-1}$ y las de Nacho $\frac{x^2}{2x+1}$. Entonces veamos que si a una fracción de Magalí que esté en la posición $x$ le resto una de Nacho en la posición $x-1$ tengo: $\frac{x^2}{2x-1}-\frac{(x-1)^2}{2(x-1)+1}=\frac{x^2-x^2+2x-1}{2x-1...
por Gabriel Bernal
Mié 27 May, 2020 12:02 pm
Foro: Algebra
Tema: Provincial 2006 - Nivel 3 - Problema 3
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Provincial 2006 - Nivel 3 - Problema 3

Se tienen $4$ esferas en el espacio, cada una tangente exteriormente con las otras $3$. Dos de las esferas son de radio $3$ y las otras dos, de radio $2$. Una quinta esfera es tangente exteriormente a cada una de las cuatro anteriores. Determinar el radio de esta quinta esfera.
por Gabriel Bernal
Mié 27 May, 2020 11:59 am
Foro: Problemas Archivados de Álgebra
Tema: Provincial 2006 - Nivel 3 - Problema 1
Respuestas: 1
Vistas: 462

Provincial 2006 - Nivel 3 - Problema 1

Magalí y Nacho tienen que escribir cada uno una lista ordenada de fracciones de manera que las dos listas tengan la misma cantidad de fracciones y que la diferencia entre la suma de todas las fracciones de la lista de Magalí y la suma de todas las fracciones de la lista de Nacho sea mayor que $123$....
por Gabriel Bernal
Mié 20 May, 2020 11:56 am
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: Metropolitana 1999 N3 P2
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Re: Metropolitana 1999 N3 P2

Si $c$ es el cociente y $r$ el resto tenemos que $c\times b+r=a$ y $c^3=r$. Excluímos los negativos. Como $a$ tiene tres cifras y $b$ dos, el resto es como mucho $99$, entonces tenemos que $c<5$. Por otro lado, si $c=0$ llegaremos a $a<b$, absurdo. Quedan cuatro casos: Si $c=1$, $r=1$. Entonces $b+...