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Aquí vamos a publicar la solución oficial.

En el tablero de la figura, Joaco debe escribir $9$ enteros positivos distintos, uno en cada casilla, ordenados de menor a mayor (de izquierda a derecha), de manera que la suma de todos los números del tablero sea exactamente $2020$. ¿Cómo puede completar Joaco el tablero para que los números de las...

Decimos que un entero positivo $k$ es buenardo si existen enteros positivos $x$ e $y$ tales que $x^2+y^2 = k$. Si no existen estos enteros positivos, entonces $k$ es malardo . Demostrar que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que $n$ y $n+2020$ son buenardos, pero $n+1,~n+2,~n+3,~\ldots,~n...

Aquí vamos a publicar la solución oficial

Sandy escribió: ↑

Dom 13 Oct, 2019 1:21 pm

En el 8), "algunos números" puede ser uno solo? O sea, si por ejemplo A={1,2,3}, el 1 y el 2 pertenecen a S?

Sí.

En cada vértice de un $2019$-ágono regular hay un tótem. Inicialmente, cada tótem le está disparando con un rayo laser a otro tótem. Un movimiento consiste en elegir un tótem y hacerlo girar en sentido antihorario hasta que su laser toque por primera vez a otro tótem. Decimos que un tótem $A$ está t...

Solución: Figura: Ibero2019P4.png Claramente $ABCD$ es un trapecio isósceles. Notemos entonces que $DCQP$ también lo es, por lo que obtenemos que $\angle DPC = \angle DQC$, pero como $\angle DEC = \angle DFC$, obtenemos que los triángulos $DEP$ y $DFQ$ son semejantes. Ahora, notemos que como $\angl...

Solución: Lema: Para todo polinomio $P$ no constante de coeficientes enteros existen infinitos primos $q$ tales que $q \mid P(n)$ para cierto $n$ entero. Demo: Sea $P(x) = a_nx^n + \cdots a_1x + a_0$. Si $a_0=0$, todos los términos son divisibles por $x$ y en particular $q \mid P(q)$. Si $a_0 \neq ...

Lendo: Según qué ángulo es más grande, la figura puede ser bastante distinta, así que resuelvo sobre la figura más linda y tomo razones dirigidas. Figura: IberoProblema3.png Antes de meter el clásico párrafo que define $5$ puntos nuevos, veamos que $BPQC$ es cíclico, ya que $\angle PBQ = \angle BEC...

El único más hacible de los IGO5s Solución: Sea $P$ el punto donde $AB$ y $CD$ se cortan (puede ser punto infinito), sean $I_a$, $I_b$, $I_c$, $I_d$ los incentros de los triángulos más cercanos al vértice respectivo. Claramente $I_a, G, I_d$ y $I_b, H, I_c$ son colineales por estar en bisectrices de...