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$$f(x) ≡ x^2 + 1 (mod 2023)$$ $$f(x) = 2023k + 1 +x^2$$ Cometes el siguiente error. Vos sabes que $f(x)-x^2-1$ es un multiplo de $2023$, o sea, $f(1)-1^2-1$ puede ser $4046$, $f(5)-5^2-1$ puede ser $-2023$ y así. Al escribir $f(x)=2023k+1+x^2$ estas asumiendo que $f(x)-x^2-1$ da el mismo multiplo d...

Consideremos solo los $n$ tales que su ultimo dígito es distinto de $0$, en caso contrario podemos escribir a $n$ como uno de estos por una potencia de $10$. Si $n$ es coprimo con $10$ tenemos que $n,2n,3n,..., 10n$ recorre todos los restos modulo $10$ así que alguno de estos números termina en $7$...

Un saludo al Turko Sumamos $2022$ a ambos lados y la ordenamos nos queda: $$2022(x^2+1-f(x)) = 2023(f(x)^2+1-f(f(x)))$$ De donde sale que $2023|x^2+1-f(x)$, reemplazando $x$ por $f(x)$ nos queda que $2023|f(x)^2+1-f(f(x))$. Volviendo al inicio ahora podemos observar que $2023^2|x^2+1-f(x)$. Iterando...

Gracias a las paralelas a la bisectriz tenemos que $\alpha =\angle CAD=\angle BAD=\angle ABG=\angle AGB =\angle AEF =\angle AFE$ Así que los triángulos $AGB$ y $AEF$ son isósceles con $AG=AB=7$ y $AF=AE$. Miremos el triángulo $BCG$, $M$ es punto medio de $BC$ y $MF$ es paralela a $BG$. Entonces por...

Es conocido que la bisectriz por $A$ corta a $\Omega$ en el punto medio del arco $BC$ que no incluye a $A$, sea $M$ este punto y sea $T$ la intersección entre $AM$ y $BS$. Veremos que $TP$ es tangente a $\omega$. La recta $SM$ es la mediatriz de $BC$ y por lo tanto paralela a $AE$, como $AEMS$ es u...

Para cada entero $k\geq 2$, determina todas las sucesiones infinitas de enteros positivos $a_1,a_2,\ldots $ para las cuales existe un polinomio $P$ de la forma $P(x)=x^k+c_{k-1}x^{k-1}+\cdots +c_1x+c_0$, con $c_0,c_1,\ldots ,c_{k-1}$ enteros no negativos, tal que$$P(a_n)=a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{n+k}...

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<AC$. Sea $\Omega$ el circuncírculo de $ABC$. Sea $S$ el punto medio del arco $CB$ de $\Omega$ que contiene a $A$. La perpendicular por $A$ a $BC$ corta al segmento $BS$ en $D$ y a $\Omega$ de nuevo en $E\neq A$. La paralela a $BC$ por $D$ corta a la recta $B...

Determina todos los enteros compuestos $n>1$ que satisfacen la siguiente propiedad: si $d_1, d_2,..., d_k$ son todos los divisores positivos de $n$ con $1=d_1<d_2<\cdots <d_k=n$, entonces $d_i$ divide a $d_{i+1}+d_{i+2}$ para cada $1\leq i\leq k-2$.

Sea $\mathbb{R}^+$ el conjunto de los números reales positivos. Hallar todas las funciones $f:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R}^+$ que satisfacen $f\left (\frac{f(x)}{x}+y \right )=1+f(y)$ para todos $x,y$ reales positivos.

Demostrar que para cada entero positivo $n$ hay por lo menos un entero positivo de $n$ dígitos que solo contiene dígitos $1$ y $2$ y es divisible por $2^n$.