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Solución Primero, notemos que $n=1$ es campeón mundial. Ahora, supongamos que $n>1$. Sea $L(n)$ el menor divisor primo de $n$. Lema: Para $x\geq 2$ entero, vale que $L(n)\leq L\left(\frac{x^n-1}{x-1}\right)$, sin igualdad si $x=2$. Demostración: Supongamos que $q=L\left(\frac{x^n-1}{x-1}\right)$ no...

Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos. Determinar todas las funciones $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ tales que para todos $a,b$ enteros positivos, hay dos de $f(a)$, $f(b)$, $f(a+b)$ que suman el tercero.

Para cada entero positivo $n$, sean $\tau (n)$ la cantidad de divisores positivos de $n$ y $\sigma (n)$ la suma de los divisores positivos de $n$. Por ejemplo $\tau (6)=4$ y $\sigma (6)=1+2+3+6=12$. Decimos que un entero positivo $n$ es campeón mundial si $\tau (n)$ divide a $2^{\sigma (n)}-1$. Hall...

Me ins... Ah no pará

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La demostración de cualquiera de las $2$ cosas que dije es con congruencia de números , para no embarrar este post prefiero dejarla para otro momento. Una manera de llegar a esto sin pasar por congruencia (aunque en el fondo es lo mismo): Primero podemos ver que, si le sumamos/restamos $9$ a un núm...

Veremos que hay algún $1\leq i\leq n$ tal que $y=x_i$ cumple, viendo que el promedio de las sumas esas al tomar $y=\{x_1,x_2,\ldots ,x_n\}$ es menor o igual que $\frac{n-1}{2}$. Primero que nada: Para $a$ real, $\{a\}+\{-a\}<2$. Además, $\{a\}+\{-a\}=a-\lfloor a\rfloor +(-a)-\lfloor -a\rfloor =-\lf...

Notemos que, si tenemos dos números $a,b$ con suma fija $c$, podemos escribirlos como $a=\frac{c}{2}+\frac{a-b}{2}$ y $b=\frac{c}{2}-\frac{a-b}{2}$, luego su producto será $\frac{c^2}{4}-\frac{(a-b)^2}{4}$. Luego minimizando $|a-b|$ es que se maximiza el producto. Ahora sí. Si en un pizarrón están ...

Perdón por la falta de dibujo pero es lo que hay a estas horas y desde la cama. Sea y $E'$ el simétrico de $E$ por $AB$. Por angulitos es fácil ver que $D, C, E'$ son colineales. $E'\widehat{E}K=180^\circ-E'\widehat{D}K=90^\circ$. Luego tanto $KE$ como $AB$ son perpendiculares a $EE'$, por lo que s...

Sea $d=mcd(m,n)$. Luego $d\mid m-n$, por lo que o bien $d=1$ o $d=p$. Si $d=p$, debe ser que $\frac{m}{d}-\frac{n}{d}=\frac{m-n}{d}=1$. Pero como queremos que $mn$ sea cuadrado, $\frac{mn}{d^2}$ también debe serlo, lo cual es imposible pues $\frac{m}{d}$ y $\frac{n}{d}$ son positivos y difieren en ...