Se encontraron 1042 coincidencias

por Gianni De Rico
Sab 31 Ago, 2019 1:21 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Provincial 2019 - Nivel 3 - Problema 3
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Re: Provincial 2019 - Nivel 3 - Problema 3

Vengo a dejar dos soluciones Mi solución Sea $E$ sobre la semirrecta $CB$ tal que $CE=6$, y sea $F$ el punto de intersección de $CD$ con $AE$. Como $AC=6=CE$, tenemos que $ACE$ es isósceles, por lo que $F$ es el punto medio de $AE$ y $CF\perp AE$. Además, tenemos que $\angle ACF=\angle ACD=60°=\angl...
por Gianni De Rico
Sab 31 Ago, 2019 11:05 am
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: Provincial 2019 - Nivel 3 - Problema 1
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Re: Provincial 2019 - Nivel 3 - Problema 1

Bien simple
Solución
Spoiler: mostrar
$$n+1=5(p+q)\iff n-5p-5q+1=0\iff pq-5p-5q+25=24\iff (p-5)(q-5)=24$$
Supongamos WLOG $p<q$, viendo los $4$ valores que puede tomar $p-5$, tenemos que el único que cumple es $p-5=2$, por lo que $q-5=12$, y $n=119$ es el único número que cumple las condiciones del enunciado.
por Gianni De Rico
Mar 27 Ago, 2019 3:15 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: OFO 2017 Problema 12
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Re: OFO 2017 Problema 12

Solución: Sean $D$ el pie de la altura desde $A$ en $ABC$ y $H_1$ el simétrico de $H$ por $M$. Tenemos que $T,M,H_1$ son colineales, y por las reflexiones del ortocentro, tenemos que $H_1$ es el opuesto diametral de $A$ en $\omega$, luego, $\angle MTA=\angle H_1TA=90°=\angle MDA$, de donde $MDTA$ e...
por Gianni De Rico
Sab 24 Ago, 2019 12:12 am
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: OFO 2016 Problema 5
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Re: OFO 2016 Problema 5

Solución: Consideremos la inversión de centro $A$ y radio $AB$, y sea $X'$ el inverso de $X$ para todo punto $X$ del plano. Como $ACED$ es cíclico, tenemos que $C',D',E'$ son colineales. Como $B,C,D$ son colineales, tenemos que $AC'BD'$ es cíclico. Como $\Gamma _1$ y $\Gamma _2$ son tangentes en $A...
por Gianni De Rico
Vie 23 Ago, 2019 9:47 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: OFO 2015 Problema 8
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Re: OFO 2015 Problema 8

Solución: Sea $G'$ el segundo punto de intersección de $DF$ con $\Gamma$, como $F\not \equiv P$, entonces $G'\not \equiv A$. Por ser $D$ el pie de la bisectriz de $A$ sobre $\Gamma$, tenemos que $DB=DC$. Consideremos la inversión de centro $D$ y radio $DB=DC$. Claramente, $B$ y $C$ quedan fijos, y ...
por Gianni De Rico
Mar 20 Ago, 2019 11:35 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: OFO 2016 Problema 9
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Re: OFO 2016 Problema 9

Sin angulitos Solución: Sean $F$ el segundo punto de intersección de $AM$ y el circuncírculo de $ADE$, $G=DE\cap MY$, y sea $H$ el ortocentro de $ABC$. Como $HD\perp AD$ y $HE\perp AE$, tenemos que $ADHE$ es cíclico y $AH$ es diámetro de $\odot ADE$. Por la propiedad de la mediana de un triángulo re...
por Gianni De Rico
Jue 08 Ago, 2019 11:42 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Selectivo Ibero 2019 - Problema 3
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Re: Selectivo Ibero 2019 - Problema 3

Solución: Sean $F'\in AB$ tal que $\angle F'EC=\angle BEC$, y $G=EF'\cap BD$, $H$ el segundo punto de intersección de $EG$ y $\odot BCG$, $I=AE\cap BC$. Como $\angle GEC=\angle F'EC=\angle BEC=\angle GDC$, tenemos que $CDEG$ es cíclico, y como $DC=DE$, tenemos que $GD$ es la bisectriz de $\angle CG...
por Gianni De Rico
Jue 01 Ago, 2019 1:26 am
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: IMO 2015 Problema 3
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Re: IMO 2015 Problema 3

Solución: Sean $D$ y $E$ los pies de las alturas desde $B$ y $C$ en $ABC$, $G$ el pie de la perpendicular desde $H$ a $AM$ y $H'$ el reflejo de $H$ por $M$. Por las reflexiones del ortocentro tenemos $QH'\perp AQ\perp QH$, por lo que $Q,H,H'$ están alineados, de donde $Q,H,M$ están alineados. Ademá...
por Gianni De Rico
Mar 30 Jul, 2019 12:09 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Iberoamericana 2015 P4
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Re: Iberoamericana 2015 P4

Solución: Sea $H$ el conjugado armónico de $D$ con respecto a $\{B,C\}$, como $AD,BE,CF$ concurren en $P$, entonces $E,F,H$ están alineados. Sea $G$ el punto medio de $DH$, luego $GB\cdot GC=GD^2$, de donde $\frac{GB}{GD}=\frac{GD}{GC}$. Como $FK\parallel BC\parallel BD$ y $EJ\parallel BC\parallel ...
por Gianni De Rico
Vie 26 Jul, 2019 12:21 pm
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: IMO 2019 - P3
Respuestas: 1
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Re: IMO 2019 - P3

Solución: Representamos el problema con un grafo $G$ en el que los usuarios son los nodos y dos nodos $A$ y $B$ están unidos por una arista si y sólo si $A$ y $B$ son amigos. Entonces la operación consiste en tomar tres nodos $A,B,C$ tales que $AB$ y $AC$ son aristas pero $BC$ no lo es, eliminar la...