Se encontraron 1146 coincidencias

por Gianni De Rico
Lun 30 Dic, 2019 4:44 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Problema 2 APMO 2017
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Re: Problema 2 APMO 2017

Otra Solución: Sea $\angle CAB=2\alpha$, y sea $M$ el punto medio de $AB$. Consideremos la inversión de centro $A$ y radio $AM$, y sea $X'$ el inverso de $X$ para todo punto $X$ del plano. Luego, $\angle AZ'C'=\angle ACZ=\angle CAZ=\angle C'AZ'$, por lo que $C'A=C'Z'$, pero además $\angle CAZ=90°-\a...
por Gianni De Rico
Dom 29 Dic, 2019 7:00 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: APMO 2008 3
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Re: APMO 2008 3

Solución: Screenshot_20191229-225033.png Sea $I$ el segundo punto de intersección de $\Gamma$ y $\odot BDE$. Notemos que $(AC,DE,BI)$ son los ejes radicales de $(\Gamma ,\odot ACDE,\odot BDE)$ de donde concurren en un punto $F$. Por otro lado, $I$ es el centro de la rotohomotecia que manda $DE$ a $...
por Gianni De Rico
Dom 29 Dic, 2019 10:29 am
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Entrenamiento Ibero 2019 P19
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Re: Entrenamiento Ibero 2019 P19

La idea en el fondo es la misma, pero muere casi exclusivamente a base de cíclicos y angulitos, lo único con "teoría hard" viene siendo el último paso Solución: IMG_20191229_141147_762.jpg Sea $\odot DEF$ la circunferencia de referencia. Por Thales tenemos $MN\parallel EF$. Luego, como $$\angle CBE'...
por Gianni De Rico
Sab 28 Dic, 2019 11:27 pm
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: IMO 2019 - P4
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Re: IMO 2019 - P4

Tenés razón, creo que entonces llegué a la misma soución que Juli, jajaja
por Gianni De Rico
Sab 28 Dic, 2019 7:07 pm
Foro: Geometría
Tema: Maratón de Problemas de Geometría
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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Demasiadas inversiones, teoremas y lemas conocidos: no te sigo. Entiendo la introducción del punto de Miquel, que está en la recta $EF$ (ya que $ABCD$ es cíclico y entonces hay algunos productos lindos con $E$), pero verdaderamente no entiendo por qué decís que vale que $PF'\perp EF$, pero no entie...
por Gianni De Rico
Sab 28 Dic, 2019 4:45 pm
Foro: Geometría
Tema: Maratón de Problemas de Geometría
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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Problema 122 Las circunferencias $\Gamma$ y $\Omega$ se cortan en los puntos $A$ y $B$. Sea $P$ un punto sobre $\Gamma$, la tangente a $\Gamma$ por $P$ corta a $\Omega$ en los puntos $C$ y $D$, con $D$ entre $P$ y $C$, de forma que el cuadrilátero $ABCD$ es convexo. Las rectas $CA$ y $CB$ cortan nu...
por Gianni De Rico
Sab 28 Dic, 2019 9:01 am
Foro: Geometría
Tema: Maratón de Problemas de Geometría
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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Solución 121 Screenshot_20191228-224541.png Sean $E=AB\cap CD$, $F=BC\cap DA$ y $O$ el circuncentro de $ABCD$, y sean $\Gamma _X\equiv \odot EBC$, $\Gamma _Y\equiv \odot EAD$ y $\Omega \equiv \odot ABCD$. Notemos que $X$ e $Y$ son los opuestos diametrales de $E$ en $\Gamma _X$ y $\Gamma _Y$, respec...
por Gianni De Rico
Vie 27 Dic, 2019 11:10 am
Foro: Geometría
Tema: Maratón de Problemas de Geometría
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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Problema 120

El incírculo del triángulo $ABC$ es tangente a los lados $BC$, $CA$ y $AB$ en los puntos $D$, $E$ y $F$, respectivamente. Sea $G$ un punto sobre $EF$ tal que $\frac{GB}{GC}=\frac{GF}{GE}$.
Demostrar que $DG$ es perpendicular a $EF$.
por Gianni De Rico
Vie 27 Dic, 2019 10:35 am
Foro: Geometría
Tema: Maratón de Problemas de Geometría
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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Solución 119 Consideremos la inversión por la circunferencia de centro $P$ y radio $1$, y sea $X_1$ el inverso del punto $X$. Entonces $(B_1,A'_1,C_1)$, $(C_1,B'_1,A_1)$ y $(A_1,C'_1,B_1)$ son ternas de puntos colineales, y las rectas $A_1A'_1,B_1B'_1,C_1C'_1$ concurren en $P$, de donde se sigue qu...
por Gianni De Rico
Jue 26 Dic, 2019 6:58 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Problema 1 IMO 2016
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Re: Problema 1 IMO 2016

Solución: Screenshot_20191226-225415.png Sea $\angle FBA=\alpha$, de las definiciones de los puntos es inmediato que $\angle BAF=\angle CAD=\angle DAE=\angle DCA=\angle EDA=\alpha$, luego $ED\parallel AM\parallel EX$, de donde $E,D,X$ están alineados y $XE\parallel FM$. Luego, $XE\cap FM=P_{\infty ...