Se encontraron 1146 coincidencias

por Gianni De Rico
Jue 23 Ene, 2020 8:46 am
Foro: General
Tema: Arrancó el OFO 2020!
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Re: Arrancó el OFO 2020!

No entendí el problema 6... 😥 Hay que encontrar (y justificar apropiadamente) un entero positivo $N$ de forma tal que para todo entero positivo $k$ menor a $N$ exista una progresión aritmética de $180$ términos con exactamente $k$ de ellos enteros, y que para $N$ sea imposible hallar una con esa pr...
por Gianni De Rico
Mié 22 Ene, 2020 12:00 am
Foro: Problemas
Tema: OFO 2020 Problema 8
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OFO 2020 Problema 8

Sea $a_1 < a_2 < a_3 < \ldots$ una sucesión infinita de números enteros positivos, estrictamente creciente, que cumple la siguiente propiedad: para todo $n \geq 10$, $a_n$ divide a la suma de todos los términos anteriores. Demostrar que existe $m \in \mathbb N$ tal que para todo $n \geq m$ se cumple...
por Gianni De Rico
Mar 21 Ene, 2020 11:56 pm
Foro: Problemas
Tema: OFO 2020 Problema 13
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OFO 2020 Problema 13

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. Las rectas $AC$ y $BD$ se cortan en $R$, y las rectas $AB$ y $CD$ se cortan en $L$. Sean $M$ y $N$ puntos sobre los segmentos $AB$ y $CD$, respectivamente, tales que $\frac{AM}{MB}=\frac{CN}{ND}$. Sean $P$ y $Q$ los puntos de intersección de $MN$ con las diagonale...
por Gianni De Rico
Dom 12 Ene, 2020 3:01 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Problema 3 APMO 2016
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Re: Problema 3 APMO 2016

Dos años después me di cuenta que en la otra solución nunca probé que la cónica es una circunferencia, así que acá dejo una distinta Solución: Screenshot_20200112-145912.png Sea $\omega$ la circunferencia de referencia, y sea $z$ la polar de $Z$ para todo punto $Z$ del plano. Por Thales tenemos que ...
por Gianni De Rico
Jue 02 Ene, 2020 6:43 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: 24° APMO 2012 - Problema 4
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Re: 24° APMO 2012 - Problema 4

Solución: Screenshot_20200102-224211.png Sean $H'$ el simétrico de $H$ por $M$, $G=BH\cap CA$, $I=CH\cap AB$, $J=GI\cap BC$, $K$ el simétrico de $H$ por $BC$, $L$ el segundo punto de intersección de $\odot AHJ$ con $GI$, y $P$ el segundo punto de intersección de $AM$ con $\odot AGI$ (entonces $J,H,...
por Gianni De Rico
Jue 02 Ene, 2020 12:11 pm
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: Selectivo de IMO 2011 - Problema 5
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Re: Selectivo de IMO 2011 - Problema 5

Solución: Sea $n$ la cantidad de jugadores. Consideramos el grafo dirigido $G$ en el que los vértices son los jugadores, y para cada par de vértices $u,v$, existe la arista $(u,v)$ si y sólo si $u$ le ganó a $v$. Como cada jugador ganó al menos un partido, el grado de salida $\delta ^+(v)$ de cada ...
por Gianni De Rico
Mié 01 Ene, 2020 5:41 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: APMO 2019 Problema 3
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Re: APMO 2019 Problema 3

Rindiendo homenaje a la inversión Solución: Todos los ángulos y distancias son dirigidos. Sea $T$ el segundo punto de intersección de $\odot AXY$ con $\Gamma$, vamos a demostrar que $T$ está fijo. Lema 1: $BCXY$ es cíclico Demostración: Screenshot_20200101-204534.png Consideremos la inversión de cen...
por Gianni De Rico
Lun 30 Dic, 2019 6:47 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Entrenamiento IMO 2014 - Problema 32 (P6 TST Rumania 2013)
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Re: Entrenamiento IMO 2014 - Problema 32 (P6 TST Rumania 2013)

Solución: Sean $ABC$ y $A'B'C'$ los triángulos dados, y sean $\Gamma$ el circuncírculo, $O$ el circuncentro, y $G$ el baricentro de $ABC$. Por último, sean $M$ y $N$ los puntos medios de $A'B'$ y $A'C'$, y supongamos sin pérdida de generalidad que $M$ y $N$ pertenecen ambos a $\omega _1$, la circun...
por Gianni De Rico
Lun 30 Dic, 2019 5:58 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Entrenamiento IMO 2014 - Problema 18 (P2 TST Rumania 2013)
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Re: Entrenamiento IMO 2014 - Problema 18 (P2 TST Rumania 2013)

Solución: Screenshot_20191230-215546.png Primero que nada, tenemos que $QA=QB$, de donde $(PQ,RQ,SQ)$ son bisectrices de $(\angle APB,\angle ARB,\angle ASB)$, por lo que $A,X,I,Y,B$ están sobre la circunferencia $\Gamma$ de centro $Q$ y radio $QA=QB$. Consideremos la inversión por $\Gamma$, luego, ...