Se encontraron 788 coincidencias

por Vladislao
Mar 11 Jun, 2019 5:04 pm
Foro: Nivel 4
Tema: CIMA 2019 - P3
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Re: CIMA 2019 - P3

Well... Primero notemos que equivale a calcular el límite para $n\to \infty$ de $$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} (\sqrt[3]{n^3+k^2}-n)$$ Afirmación del millón de dólares: $$ \frac{1}{3}\left(\frac{k-1}{n}\right)^2 \leq \sqrt[3]{n^3+k^2}-n \leq \frac{1}{3}\left(\frac{k}{n}\right)^2$$ La demostración es tr...
por Vladislao
Vie 07 Jun, 2019 8:09 pm
Foro: Nivel 4
Tema: CIMA 2019 - P5
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Re: CIMA 2019 - P5

Proyectás estereográficamente todo al plano y se reduce a probar que si tenés cuatro círculos $C_1$, $C_2$, $C_3$ y $C_4$, tales que $C_1$ es tangente a $C_2$, $C_2$ tangente a $C_3$, $C_3$ tangente a $C_4$ y $C_4$ tangente a $C_1$, entonces los 4 puntos de tangencia son concíclicos, lo cual es dir...
por Vladislao
Jue 16 May, 2019 4:37 pm
Foro: Nivel 4
Tema: Proposiciones sobre derivadas
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Re: Proposiciones sobre derivadas

1) Es falso. Lo que estás invocando al decir $\frac{\partial}{\partial \mathbf{u}} f(x) = \nabla f(x) \cdot \mathbf{u}$ vale bajo la hipótesis de que $f$ sea diferenciable en $x$ (donde diferenciable no es lo mismo a que existan todas las derivadas parciales). Un ejemplo de función (que obviamente n...
por Vladislao
Lun 11 Mar, 2019 2:58 pm
Foro: Algebra
Tema: ONEM 2015 - Fase 3 - Nivel 2 - P5
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Re: ONEM 2015 - Fase 3 - Nivel 2 - P5

Es usar el Teorema Chino del Resto para polinomios (meditar sobre esto). Tenemos $a(x) = (x-1)^2$ y $b(x) = (x+1)^2$, y sabemos que: $$P(x) \equiv 1+2x \equiv 2+x^2 \pmod{a(x)}$$ $$P(x) \equiv 1-2x \equiv 2+x^2 \pmod{b(x)}$$ Como $a(x)$ y $b(x)$ son coprimos, por el Teorema Chino del Resto, sigue qu...
por Vladislao
Sab 16 Feb, 2019 12:10 am
Foro: Problemas
Tema: Maratón de Problemas
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Re: Maratón de Problemas

Infinitos. Llamemosle $r_k$ al $k$-ésimo término de la sucesión, i.e., $r_k = \frac{10^k-1}{9}$. Notar que $r_k \equiv 0 \pmod{333}$ si y sólo si $10^k-1 \equiv 0 \pmod{2997}$. Ahora bien, como $10$ es coprimo con $2997$, por el Teorema de Euler, tomando cualquier $k$ que sea un múltiplo de $\varph...
por Vladislao
Mar 11 Dic, 2018 9:05 am
Foro: Combinatoria
Tema: Rioplatense 2018 - N3 P6
Respuestas: 4
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Re: Rioplatense 2018 - N3 P6

Dejo mi esquema de solución, que es onda olimpíadas (sin usar nada de códigos ni de álgebra lineal). De la condición inicial es claro que todos los trabajadores deben trabajar al menos 3 días a la semana (salvo el que no trabaja). Consideramos las $7$-uplas de ceros y unos que tienen al menos 3 unos...
por Vladislao
Mar 11 Dic, 2018 7:55 am
Foro: Combinatoria
Tema: Rioplatense 2018 - N3 P6
Respuestas: 4
Vistas: 653

Re: Rioplatense 2018 - N3 P6

Spoiler: mostrar
Si no la estoy manqueando, la respuesta es $16$, y es un asco el problema. Se reduce a construirte el cliqué máximo en un grafo espantoso. Se puede hacer a mano porque hay cierta regularidad en el grafo.
por Vladislao
Jue 25 Oct, 2018 9:34 am
Foro: Problemas
Tema: OFO 2018 Problema 12
Respuestas: 2
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Re: OFO 2018 Problema 12

fleschler.ian escribió:
Dom 04 Feb, 2018 10:58 am
Aquí vamos a publicar la solución oficial.
Hay que estar registrado para ver las imágenes
por Vladislao
Jue 12 Jul, 2018 2:16 am
Foro: General
Tema: Records argentinos en la IMO
Respuestas: 6
Vistas: 1335

Re: Records argentinos en la IMO

Capaz estaría bueno agregar los "primeros" que hicieron tal cosa. Ergo, primera medalla de bronce que hubo, primera vez que todos sacaron premio, primera vez que alguien metió 777 en una misma prueba, primera vez que se resolvió completo un 6, etc.
por Vladislao
Dom 08 Jul, 2018 12:58 am
Foro: Teoría de Numeros
Tema: IMO 2005 - P4
Respuestas: 1
Vistas: 326

Re: IMO 2005 - P4

Sea $p>3$ un primo. Tenemos, por el Teorema de Fermat, que: $a_{p-2}=2^{p-2}+3^{p-2}+6^{p-2}-1=2^{-1}+3^{-1}+6^{-1}-1=1-1=0 \pmod{p}$ Es decir, para todo primo $p>3$ hay un elemento en la sucesión que es múltiplo de él. Esto sólo nos dice que las respuestas posibles pueden ser $1$ (obvio), $2$ que ...