Se encontraron 399 coincidencias

por Prillo
Mié 23 Sep, 2020 3:35 am
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: IMO 2020 Problema 6
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Re: IMO 2020 Problema 6

Sean $X$ e $Y$ los dos puntos de $S$ mas lejanos, y sea $d$ su distancia. Sin perdida de generalidad $X=(0,0)$ e $Y=(d,0)$. Sea $x$ la recta que pasa por $X$ e $Y$ (el eje $x$). Notar que como $X$ e $Y$ son los mas lejanos, la proyeccion de cualquier otro punto de $S$ sobre la recta $x$ cae entre $...
por Prillo
Vie 20 Dic, 2019 2:36 am
Foro: Problemas Archivados de Álgebra
Tema: Problema 6 Nivel 2 Río 2019
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Re: Problema 6 Nivel 2 Río 2019

a) Consideremos la sucesión $a_1,a_2,\dots,a_n$ dada por $a_n = n^2, a_{n-1} = n^2 - (n-1), a_{n-2} = n^2 - (n-1) - (n-2),\dots,a_1 = n^2 - (n - 1) - (n - 2) - \dots - 1$. Es decir, $a_i = n^2 - (n - 1) - (n - 2) - \dots - (n - (n - i)) = \frac{n^2 + n + i(i-1)}{2}$, ó pensado recursivamente, $a_n =...
por Prillo
Vie 20 Dic, 2019 2:14 am
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: Rioplatense 2009 N3 P3
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Re: Rioplatense 2009 N3 P3

A cada numero de la permutacion $d$-ordenada $A$ le asignamos la maxima longitud de una subsucesion decreciente que termina en ese numero. Asi obtenemos una nueva sucesion $L$ que tiene terminos entre $1$ y $d - 1$ inclusive. Por ejemplo, para la permutacion $A = (1,4,3,5,2)$ obtenemos la sucesion ...
por Prillo
Dom 14 Abr, 2019 2:32 pm
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: Selectivo IMO 2019 - Problema 5
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Re: Selectivo IMO 2019 - Problema 5

Por la condicion (i), $f(n^t) = f(n)^t$ para todo $n, t \in \mathbb N$. Ahora $f(1) = f(1)^2 \Rightarrow f(1) = 1$. Veamos que $m - n | f(m) - f(n)$ para todos $m > n \ge 1$. Sea $a > m$, tenemos que $m - n | a(m - n) | f(m) + f(a(m - n) - m)$ y $m - n | (a - 1)(m - n) | f(n) + f((a - 1)(m - n) - n...
por Prillo
Dom 14 Abr, 2019 9:13 am
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: Selectivo IMO 2019 - Problema 1
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Re: Selectivo IMO 2019 - Problema 1

BrunZo me parece que tu idea no funciona: Que pasa si Ana aplica su estrategia de $n=3$ para $n=5$ y se juega asi: - Ana = $(A_4, A_5) = (B_2, B_3)$ - Beto = $(A_2, O) = (B_1, O)$ - Ana = $(A_4, O) = (B_2, O)$ [Aca ya gana Ana para $n = 3$, pero el juego sigue para $n=5$] - Beto = $(A_5, O)$. - No ...
por Prillo
Vie 21 Jul, 2017 9:31 pm
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: IMO 2017 - P3
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Re: IMO 2017 - P3

Lema: Si al comenzar alguna ronda el conejo esta a distancia d \ge 1 del cazador, entonces en r rondas mas puede garantizarse estar a distancia al menos \sqrt{d^2 + 1} - \frac{1}{r} . IMO2017P3.png Demostracion: Sin perdida de generalidad el cazador esta en H = (0,0) y el conejo en R = (d,0) . Cons...
por Prillo
Lun 20 Feb, 2017 5:28 pm
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: Rioplatense 2016 - N3 P6
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Re: Rioplatense 2016 - N3 P6

Sea T(k) el numero obtenido al concatenar los digitos de los numeros del 1 al k . La sucesion T(1),T(2),T(3),\dots es una subsucesion de A_1,A_2,A_3,\dots . Dado n , sea s lo suficientemente grande tal que ni 2^s ni 5^s dividen a n . Sea U=100\dots001 donde U tiene s+1 digitos. Consideremos la suce...
por Prillo
Lun 12 Dic, 2016 9:37 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Rioplatense 2016 - N2 P2
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Re: Rioplatense 2016 - N2 P2

Sean P,Q,R los puntos medios de AB,BX,XA respectivamente. Queremos ver que PY = PA (= PB) . Es decir, queremos ver que la longitud del vector \overrightarrow{PY} = \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QM} + \overrightarrow{MY} es igual a AP . Pero PQXR y MYNX son paralelogramos asi que \overrighta...
por Prillo
Lun 12 Dic, 2016 9:13 pm
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: Nacional 2016 N2 P1
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Re: Nacional 2016 N2 P1

Nos olvidamos de la ultima casillas y dividimos el tablero en bloques de 3 casillas consecutivas. Sean m_1 < m_2 < \dots < m_{33} los numeros marcados en cada bloque. Cada m_i es mayor que alguno de los numeros en su bloque, llamemoslo c_i . Luego m_i es mayor que s_i y que m_{j},s_{j} para cada 1 ...
por Prillo
Lun 12 Dic, 2016 8:58 pm
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: Nacional 2016 N2 P4
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Re: Nacional 2016 N2 P4

Equivalentemente: hallar la maxima cantidad de subconjuntos de S = \{1,2,\dots,12\} de 4 elementos tales que la union de cada tres de ellos nunca sea S . Si elegimos los \binom{11}{4} subconjuntos de 4 elementos de \{1,2,\dots,11\} es claro que cumplen la condicion del enunciado. Veamos ahora que s...