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Sea $n\geq 1$ un entero. Se tienen dos sucesiones, cada una de $n$ números reales positivos $a_1,a_2,\ldots ,a_n$ y $b_1,b_2,\ldots ,b_n$ tales que $a_1+a_2+\cdots +a_n=1$ y $b_1+b_2+\cdots +b_n=1$. Hallar el menor valor posible que puede tomar la suma$$\frac{a_1^2}{a_1+b_1}+\frac{a_2^2}{a_2+b_2}+\c...

Un conjunto de números enteros positivos distintos se llama singular si, para cada uno de sus elementos, luego de tachar ese elemento, los restantes se pueden agrupar en dos conjuntos sin elementos comunes de modo que la suma de los elementos de los dos grupos sea la misma. Hallar el menor entero po...

En un tablero de $9\times 9$ hay que colorear de rojo algunas casillas, por lo menos una. Para cada coloración, sea $P$ la cantidad de casillas, coloreadas o no, que tienen un número par de casillas vecinas rojas. (Dos casillas son vecinas si tienen un lado común). Dar una coloración del tablero que...

Hallar el mayor número entero capicúa de $5$ dígitos que es divisible por $101$.

Aclaración: Un número es capicúa si se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda.

Bruno elige un número entero positivo $X$. A continuación, Flor elige cuatro números enteros $a$, $b$, $c$, $d$ y calcula $N=(a-b)(b-c)(c-d)(d-a)(a-c)(b-d)$, la multiplicación de las seis diferencias entre esos cuatro números. Determinar el mayor valor de $X$ con el que Bruno tiene la certeza de que...

Sea $n$ un entero positivo. Se tienen $n$ bolillas numeradas del $1$ al $n$ y tres cajas de diferentes colores. Hallar el menor $n$ tal que para toda ubicación de las $n$ bolillas en las tres cajas siempre haya en una misma caja dos bolillas tales que la diferencia de los números escritos en ellas (...

Los tres enteros $2000$, $19$ y $n$ están escritos en el pizarrón. Ana y Beto juegan el siguiente juego: Comienza Ana y luego juegan por turnos. Cada jugada consiste en borrar uno de los números del pizarrón y reemplazarlo por la diferencia de los otros dos (el mayor menos el menor). Solo están perm...

No entendi muy bien la gracia de este problema. O sea, para cualquier cociente $\frac{a}{b}$ y cualquier número $c$ hay un rectángulo de diagonal $c$ y cociente entre los lados $\frac{a}{b}$. O sea, básicamente te armás un rectángulo cualquiera con esa proporción de lados y le hacés la homotecia co...

Un poco menos bazookazo que el mensaje del Turko

Spoiler: mostrar

$8^{22}=(8^2)^{11}\equiv(3^2)^{11}\equiv(-1)^{11}\equiv(-1)\pmod5$

$9^{40}\equiv(-1)^{40}\equiv1\pmod5$

Entonces $8^{22}+9^{40}$ es un múltiplo de $5$ claramente mayor que $5$, sou es compuesto.

Supongamos que tenemos $m$ letras del tipo $1$, $m$ letras del tipo $2$, ..., $m$ letras del tipo $n$. Entonces la cantidad total de palabras que podemos armar con esas letras es $\frac{(mn)!}{(m!)^n}$. Llamemos "movimiento permitido" a transformar una palabra del conjunto en otra reempla...