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Si Mili pudo obtener tres números iguales, en particular en algún momento encontró $m,n\in\mathbb{Z}_{\geq 1}$ con $m>n$ y $m^2-n^2=3m-n$, que se reescribe como $\left(m-n-1\right)\left(m+n-2\right)=2$. Para cada $d\in\left\{-2,-1,1,2\right\}$ (divisores de $2$) resolvemos el sistema $\begin{cases}...

Resolvamos primero $2^m-3^n=2017$. Módulo $3$ obtenemos $\left(-1\right)^m\equiv 1\pmod{3}$, por lo tanto $m$ es par. Escribamos $m=2k$ con $k\in\mathbb{N}$. No puede ser $k=1$ o de lo contrario $3^n=2^2-2017<0$, por lo tanto $m=2k\geq 4$. Mirando módulo $16$ obtenemos $3^n\equiv -1\pmod{16}$, y po...

Afirmo que la serie diverge. Para demostrarlo, uso los siguientes lemas. LEMA 1: Sea $f:\left[1,+\infty\right)\to\mathbb{R}$ una función tal que existe $M\in\mathbb{R}_{\geq 1}$ tal que $f$ es continua en $\left[M,+\infty\right)$ y diferenciable en $\left(M,+\infty\right)$, y tal que $\left(x-\left...

En el lema 4 no comprendo por qué $\big(g''=1\big)$ implica que $f$ es de la forma $\big(x^2+3y^2\big)$ Perdón mi ignorancia, podrías explicar el procedimiento para llegar a tal resultado? Gracias. Recién veo esto. :oops: Si $a^2+3b^2=fg$ con $f$ impar y no de la forma $x^2+3y^2$, queremos demostra...

Se tienen $n+1$ números reales $x_1,\cdots ,x_{n+1}$ tales que $-1\leq x_i\leq 1$ para todo $i=1,\cdots ,n+1$.

Probar que es posible elegir $j$ tal que $\displaystyle{\prod _{\substack{i=1\\i\neq j}}^{n+1}\left |x_j-x_i\right |}\leq \frac{n+1}{2^{n-1}}$.

LEMA: Sea $k\in \mathbb{N}$ tal que $k\geq 6$. Entonces $101k\leq 3^k$. Demostración: Para $k=6$ vale. Si vale para un $k\in \mathbb{N}_{\geq 6}$ genérico, entonces $3^{k+1}=3\cdot 3^k\geq 3\cdot 101k\geq 101\left (k+1\right )$, donde la última igualdad es válida pues equivale a $2k\geq 1$, lo cual...

Como $OA=OD=OT$ por ser radios de la circunferencia, entonces $OAD$ es isósceles y por lo tanto la mediana correspondiente a $O$ es perpendicular a $AD$. Sea $OM$ esa mediana. Entonces, como $OM\perp AB$ y $BC\perp AB$, además de que $AB\parallel OT$, el cuadrilátero $ABTO$ es un rectángulo. Entonc...

Misma solución en otro lenguaje; y una manera más corta y concisa de probar la vuelta: Sea $G$ el grupo de personas. Definimos una relación $\sim $ en $G$ de modo que, para todo $\left (x,y\right )\in G^2$, $x\sim y$ si y solo si $x=y$ o bien $x$ y $y$ son amigos. Es claro, por definición, que $x\si...

Como $z^2$ es la suma de dos impares, $z$ es par. Por lo tanto, mirando la expresión del enunciado módulo $4$, $\left (-1\right )^x\equiv 1\pmod 4$, de donde $x$ es par y $\left (a^{\frac{x}{2}}-z\right )\left (a^{\frac{x}{2}}+z\right )=p^y$. Observemos que $p$ no puede simultáneamente dividir a $a...

Para cada $i\in \left [1,d\right ]\cap \mathbb{N}$ la función $f_i:G\to G$ tal que $f_i\left (X\right )=A_iX$ tiene, por hipótesis, bien definido el codominio y, por ser $A_i$ una matriz inversible, resulta inyectiva. Al ser $G$ un conjunto finito, resulta biyectiva. Llamando $A:=\sum_{i=1}^dA_i$, ...