Se encontraron 1138 coincidencias

por Matías V5
Jue 18 Ene, 2024 5:15 pm
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: Rioplatense 2018 - Nivel A Problema 2
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Re: Rioplatense 2018 - Nivel A Problema 2

Respuesta: El mínimo valor posible es $4$. Ejemplo con el valor mínimo: $\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline 9 & 10 & 11 & 12 \\ \hline 13 & 14 & 15 & 16 \\ \hline \end{array}$ La diferencia es $1$ si las cas...
por Matías V5
Jue 18 Ene, 2024 4:05 pm
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: Rioplatense 2018 - Nivel A Problema 3
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Re: Rioplatense 2018 - Nivel A Problema 3

Demostración de que no se puede con menos operaciones (no me gustó el "claramente"...) Al hacer una pesada dividimos las pesas en tres grupos: las del plato derecho, las del plato izquierdo y las que quedan afuera de la balanza. Para poder determinar con certeza cuál es la pesa de 1 gramo ...
por Matías V5
Mié 10 Ene, 2024 3:38 pm
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: Rioplatense 2019 N3 P3
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Re: Rioplatense 2019 N3 P3

Respuesta: La mayor profundidad posible para una palabra de $n$ letras es $F_{n+3} - 3$, donde $F_n$ es la sucesión de Fibonacci definida por $F_0=0$, $F_1=1$, $F_{n+2} = F_n + F_{n+1}$ para todo $n \geq 0$. Ejemplo con la profundidad máxima: Probaremos por inducción en $n$ que las palabras de $n$ l...
por Matías V5
Vie 22 Dic, 2023 9:52 pm
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: Cono 2023 P2
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Re: Cono 2023 P2

Me contó un pajarito que alguien quería ver una solución de este problema, así que acá va. Vamos primero con la parte (a), que es más fácil. Observemos que alcanza con dar un procedimiento que deje exactamente una lámpara encendida (luego, se repite ese procedimiento trasladando para encender todas ...
por Matías V5
Vie 17 Nov, 2023 10:18 am
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Nacional 2023 N3 P3
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Nacional 2023 N3 P3

Sea $ABC$ un triángulo y $M$ el punto medio del lado $BC$. Sea $\Omega$ la circunferencia que pasa por $A$, $B$ y $C$. La recta $AM$ corta a $\Omega$ en el punto $P$. Sea $AF$ la altura del triángulo, con $F$ en $BC$, y sea $H$ el punto de intersección de las tres alturas del triángulo. Las semirrec...
por Matías V5
Vie 17 Nov, 2023 10:16 am
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: Nacional 2023 N3 P2
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Nacional 2023 N3 P2

Hallar todos los enteros positivos $n$ tales que todos los factores primos de $2^n - 1$ son menores o iguales que $7$.
por Matías V5
Vie 17 Nov, 2023 10:14 am
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Nacional 2023 N2 P3
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Nacional 2023 N2 P3

En el paralelogramo $ABCD$, la longitud del lado $AB$ es igual a la mitad de la del lado $BC$. La bisectriz del ángulo $A \hat{B} C$ corta al lado $AD$ en $K$ y a la diagonal $AC$ en $L$. La bisectriz del ángulo $A \hat{D} C$ corta a la prolongación del lado $AB$ en $M$, con $B$ entre $A$ y $M$. La ...
por Matías V5
Vie 17 Nov, 2023 10:10 am
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: Nacional 2023 N2 P2
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Nacional 2023 N2 P2

Dado el número $720$, Juan debe elegir $4$ números que sean divisores de $720$. Él gana si para cada uno de sus cuatro números vale que ese número no es divisor de la multiplicación de los otros tres. Decidir si Juan puede ganar.
por Matías V5
Mié 15 Nov, 2023 11:10 am
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: Nacional 2023 N2 P1
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Nacional 2023 N2 P1

Decimos que un entero positivo es un número bueno si el dígito $2$ aparece más veces que el $3$, y que es un número malo si el dígito $3$ aparece más veces que el $2$. Por ejemplo, $2023$ es bueno y $123$ no es ni bueno ni malo. Calcular la resta de la cantidad de números buenos menos la cantidad de...
por Matías V5
Mié 15 Nov, 2023 11:02 am
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Nacional 2023 N1 P3
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Nacional 2023 N1 P3

Sea $ABCD$ un trapecio de lados $AB$, $BC$, $CD$ y $DA$, con $BC$ paralelo a $AD$, tal que $C \widehat{A} D = 30^{\circ}$. Se sabe que la diagonal $BD$ satisface $BD = \frac{BC+AD}{2}$.
Si las diagonales $AC$ y $BD$ se cortan en $M$, calcular el ángulo $A \widehat{M} B$.