Se encontraron 920 coincidencias

por Matías V5
Vie 09 Ago, 2019 10:13 pm
Foro: Algebra
Tema: Selectivo Ibero 2019 - Problema 6
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Re: Selectivo Ibero 2019 - Problema 6

Es claro que $S > 6$ es imposible, ya que si se puede hacer la división en dos grupos como dice el enunciado la suma de todos los números será menor o igual que $1+5=6$. Veamos que tampoco puede ser $\frac{11}{2} < S \leq 6$. Para ello, consideramos un conjunto de $11$ números iguales a $\frac{S}{1...
por Matías V5
Vie 09 Ago, 2019 9:59 pm
Foro: Algebra
Tema: Selectivo Ibero 2019 - Problema 6
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Selectivo Ibero 2019 - Problema 6

Se tiene un número positivo $S$ con la siguiente propiedad: si se toman varios números positivos, no necesariamente distintos, mayores que $0$ y menores o iguales que $1$, cuya suma total es $S$, se sabe que es posible separar los números en dos grupos, uno en el que la suma de los números es menor ...
por Matías V5
Vie 09 Ago, 2019 9:56 pm
Foro: Geometría
Tema: Selectivo Ibero 2019 - Problema 5
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Selectivo Ibero 2019 - Problema 5

Sea $ABC$ un triángulo de papel con $AB = \frac{3}{2}$, $AC = \frac{\sqrt 5}{2}$ y $BC = \sqrt{2}$. Se hace un doblez a lo largo de una línea perpendicular a $AB$. Hallar el valor máximo que puede tener el área de la superposición e indicar el punto por el que pasa la recta del doblez cuando se logr...
por Matías V5
Vie 09 Ago, 2019 9:54 pm
Foro: Combinatoria
Tema: Selectivo Ibero 2019 - Problema 4
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Selectivo Ibero 2019 - Problema 4

Cinco niños muy inteligentes están sentados en ronda. La maestra les reparte varias manzanas y les dice: "Les he dado algunas manzanas a algunos de ustedes (puede haber alguno sin manzanas) y no hay dos que recibieran igual número de manzanas. Además cada uno de ustedes conoce el número de manzanas ...
por Matías V5
Jue 08 Ago, 2019 8:28 pm
Foro: Combinatoria
Tema: Selectivo Ibero 2019 - Problema 1
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Re: Selectivo Ibero 2019 - Problema 1

El mayor numero que puede obtener Matías es 3.n+1. Lo que pensé fue que para que se cuente una X tendría que haber al menos n+1 cruces en la fila. Si se aplica así en todas las filas entonces tendrías 2.n+1= X . Si todas las cruces estuvieran juntas en un rectángulo [(2.n+1).(n+1)]. Entonces tendrí...
por Matías V5
Jue 08 Ago, 2019 6:33 pm
Foro: Geometría
Tema: Selectivo Ibero 2019 - Problema 3
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Selectivo Ibero 2019 - Problema 3

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que $DC = DE$ y $D \widehat{C} B = D \widehat{E} A = 90^{\circ}$. Sea $F$ en el segmento $AB$ tal que $\frac{AF}{BF} = \frac{AE}{BC}$. Demostrar que $F \widehat{E} C = B \widehat{D} C$.
por Matías V5
Jue 08 Ago, 2019 6:32 pm
Foro: Algebra
Tema: Selectivo Ibero 2019 - Problema 2
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Selectivo Ibero 2019 - Problema 2

Sea $x_0, x_1, \ldots, x_{2019}$ una sucesión de enteros positivos tales que $x_0 \leq x_1 \leq \ldots \leq x_{2019}$. Se sabe que $x_0=1$ y que la subsucesión $x_1,x_2,\ldots,x_{2019}$ contiene exactamente $25$ números distintos. Demostrar que vale la desigualdad $x_2(x_2-x_0) + x_3(x_3-x_1) + x_4(...
por Matías V5
Jue 08 Ago, 2019 6:30 pm
Foro: Combinatoria
Tema: Selectivo Ibero 2019 - Problema 1
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Selectivo Ibero 2019 - Problema 1

Sea $n$ un entero positivo. En un tablero de $(2n+1)\times(2n+1)$ Matías marca alternativamente una cruz o un punto en cada casilla hasta completar el tablero (primero marca una cruz). Luego cuenta la cantidad de filas que tienen más cruces que puntos y la cantidad de columnas que tienen más puntos ...
por Matías V5
Mié 17 Jul, 2019 7:50 pm
Foro: Teoría de Numeros
Tema: IMO 2019 - P4
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Re: IMO 2019 - P4

Plan de solución (se puede leer a modo de pista): Podemos calcular (en función de $n$) cuántos factores $2$ tiene el lado derecho de la ecuación. Para que en $k!$ pueda haber esa cantidad de factores $2$, $k$ tiene que ser "grande". Pero si el $k$ es así de grande ocurre (salvo para valores muy peq...
por Matías V5
Mié 17 Jul, 2019 9:24 am
Foro: Problemas Archivados
Tema: IMO 2019 - P6
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IMO 2019 - P6

Sea $I$ el incentro del triángulo acutángulo $ABC$ con $AB \neq AC$. La circunferencia inscrita (o incírculo) $\omega$ de $ABC$ es tangente a los lados $BC$, $CA$ y $AB$ en $D$, $E$ y $F$ respectivamente. La recta que pasa por $D$ y es perpendicular a $EF$ corta a $\omega$ nuevamente en $R$. La rect...