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Nos habían dicho que no hagamos este problema en el training, ahora veo por qué...

Se sabe que la ecuación $x^4+ax^3+2x^2+bx+1=0$ tiene una raíz real. Demostrar la desigualdad $a^2+b^2\geqslant8$.

Se divide un polígono convexo de $1993$ lados en heptágonos convexos. Demostrar que hay tres lados vecinos del polígono de $1993$ lados que están en un mismo heptágono.

Sea $D$ un punto del lado $BC$ de un triángulo $ABC$. Se consideran las circunferencias inscriptas en los triángulos $ABD$ y $ACD$; su tangente exterior común (distinta de $BC$) corta a $AD$ en $K$. Demostrar que la longitud $AK$ no depende de la posición de $D$.

Se escriben uno tras otro los enteros positivos desde $1$ hasta $n$ en su representación decimal: $$1234567891011121314\cdots$$¿Existe $n$ tal que cada uno de los dígitos $0, 1, 2, \ldots, 9$ aparecen la misma cantidad de veces?

En un tablero de $m$ filas y $n$ columnas las operaciones permitidas son permutar los elementos de modo que ninguno cambie de fila ( movida horizontal ) o permutar los elementos de modo que ninguno cambie de columna ( movida vertical ). Hallar el número $k$ tal que toda permutación de los $mn$ eleme...

¿Existe una función lineal a trozos definida en el intervalo $[-1,\,1]$ tal que $f(f(x)) = -x$ para todo $x$? (Una función es lineal a trozos si su gráfico es la unión de un número finito de puntos y segmentos de recta; puede ser discontinua.)

Un grupo de personas se dividen una herencia. Un heredero se dice pobre si recibe menos de $\$99$ y rico si recibe más de $\$10000$ (puede haber herederos que no sean ni ricos ni pobres). El total de la herencia y el número de herederos son tales que lo que reciben en total los herederos ricos es ma...

Sean $CA$ y $CB$ dos tangentes a una circunferencia, con $A$ y $B$ los puntos de tangencia. Consideramos un "triángulo" limitado por el menor arco $\overparen{AB}$ y los segmentos $CA$ y $CB$. Demostrar que la longitud de todo segmento interior al triángulo es menor o igual que la longitud...

La bisectriz del ángulo $\angle A$ de un triángulo $ABC$ corta a la circunferencia circunscripta en $D$. Sea $P$ el simétrico del incentro del triángulo con respecto al punto medio del lado $BC$ y $M$ la segunda intersección de la recta $PD$ con la circunferencia circunscripta. Demostrar que una de ...