Se encontraron 457 coincidencias

por 3,14
Jue 07 Dic, 2023 10:15 pm
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: Rioplatense 2023 N3 P1
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Re: Rioplatense 2023 N3 P1

Quizás un poco mucho... :shock: Podemos trabajar en los enteros de Gauss y usar que son un dominio de factorización única. Es fácil ver que $p=2$ no funciona. De la primera ecuación obtenemos: $p = (x+i)(x-i)$ Como la norma $N(x+i)=N(x-i)=p$ sabemos que tanto $x+i$ como $x-i$ son primos (en los ente...
por 3,14
Jue 30 Nov, 2023 9:49 am
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: Mateclubes 2023 Ronda final P3 N3
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Mateclubes 2023 Ronda final P3 N3

Betty y Mario juegan al siguiente juego: Betty tiene un mazo de $101$ cartas donde hay $100$ cartas numeradas del $1$ al $100$ y la carta restante está repetida. Mario debe adivinar cuál es la carta que se repite. Para ello Betty le da una pista: le dice que el producto de todas las cartas del mazo ...
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Jue 30 Nov, 2023 9:47 am
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: Mateclubes 2023 Ronda final P2 N3
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Mateclubes 2023 Ronda final P2 N3

Ana, Beto, Carla, Daniela, Eric y Franco fueron al cine y se sentaron en $6$ sillas juntas en ese orden. Luego del intervalo, regresaron a sus sillas y se sentaron nuevamente en las mismas $6$ sillas de forma tal que si dos personas que antes del intervalo se habían sentado una al lado de la otra, l...
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Jue 30 Nov, 2023 9:46 am
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: Mateclubes 2023 Ronda final P1 N3
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Mateclubes 2023 Ronda final P1 N3

Betty quiere completar los casilleros vacíos de la figura de tal forma que cada número sea el mínimo común múltiplo de los dos números que se encuentran inmediatamente abajo suyo. Además, quiere que cada número sea distinto a los dos que están debajo suyo. ¿De cuántas formas puede hacerlo? Explicar ...
por 3,14
Jue 30 Nov, 2023 9:43 am
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: Mateclubes 2023 Ronda final P3 N4
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Mateclubes 2023 Ronda final P3 N4

Rafa le dice en secreto a cada uno de sus $4$ amigos un número de dos dígitos. Rafa les comunica a los $4$ que los $4$ números tienen dos dígitos y son consecutivos, además uno es múltiplo de $6$, y otro es múltiplo de $7$. Rafa les pregunta: ¿Pueden decirme cuáles son los $4$ números? Los $4$ amigo...
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Jue 30 Nov, 2023 9:41 am
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: Mateclubes 2023 Ronda final P2 N4
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Mateclubes 2023 Ronda final P2 N4

Mario escribe en el pizarrón algunos números del $1$ al $6$, de menor a mayor. Todos los números que escribe Mario son distintos entre sí. Betty escribe en el siguiente renglón del pizarrón algunos números distintos del $1$ al $6$, de menor a mayor. Todos los números que escribe Betty son distintos ...
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Jue 30 Nov, 2023 9:40 am
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: Mateclubes 2023 Ronda final P1 N4
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Mateclubes 2023 Ronda final P1 N4

Betty colocó los números del $1$ al $8$ en los vértices del siguiente octógono regular, sin repeticiones. A continuación, Mario escribió dentro del cuadrado y de cada uno de los cuatro triángulos, la suma de sus vértices. Se sabe que los números que escribió Mario son cinco números consecutivos. ¿Cu...
por 3,14
Jue 14 Jul, 2022 1:32 pm
Foro: Problemas Archivados de Álgebra
Tema: IMO 2022 - P2
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Re: IMO 2022 - P2

En primer lugar, por AM-GM, obtenemos que para cada $x$ del enunciado existe un $y$ que satisface que: $\sqrt{xyf(x)f(y)} \leq \frac{xf(y)+yf(x)}{2}\leq 1 \Rightarrow xf(x)yf(y)\leq 1$ Si existiera un $x_0$ tal que $x_0f(x_0)>1$ entonces para su $y_0$ correspondiente valdría que: $y_0f(y_0)<1 \Righ...
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Mar 12 Nov, 2019 7:02 pm
Foro: Geometría
Tema: Lema de Geometría interesante
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Re: Lema de Geometría interesante

Sean dos circunferencias $\omega_1$ y $\omega_2$. $P$ y $Q$ son puntos pertenecientes a $\omega_1$ y $R$ y $S$ puntos pertenecientes a $\omega_2$. Se puede afirmar entonces que: $P, Q, R, S$ son concínclicos sí y solo sí el punto $X=PQ\cap RS$ pertenece al eje radical de $\omega_1$ y $\omega_2$ Dej...
por 3,14
Dom 10 Nov, 2019 8:27 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Nacional 2017 N3 P3
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Re: Nacional 2017 N3 P3

Peznerd escribió: Dom 10 Nov, 2019 12:58 am
3,14 escribió: Sab 18 Nov, 2017 12:11 pm
Spoiler: mostrar
$\frac {AP}{AM}=\frac {PR}{MN}$
$\frac {7}{10}=\frac {r}{MN}$
¿De dónde sacaste el valor de $AM$?
En realidad no lo calcule, use la info de la proporcion del enunciado para calcular la razon $\frac {AP}{AM}$.