Se encontraron 983 coincidencias

por Ivan
Mar 16 Jul, 2019 9:28 pm
Foro: Geometría
Tema: Dual del teorema de Pappus
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Dual del teorema de Pappus

Sean $a_1$, $a_2$ y $a_3$ tres rectas concurrentes. Sean $b_1$, $b_2$ y $b_3$ otras tres rectas concurrentes. Consideramos los puntos $X_{ij}=a_i\cap b_j$. Entonces las rectas $X_{12}X_{21}$, $X_{13}X_{31}$ y $X_{23}X_{32}$ concurren.
por Ivan
Mar 16 Jul, 2019 9:16 pm
Foro: Geometría
Tema: IMO 2019 - P2
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Re: IMO 2019 - P2

Proyectiva: Consideramos $X=B_1P\cap AB$ e $Y=A_1Q \cap AB$. Sean $W=B_1P\cap A_1Q$ y $L=WC\cap AB$. El cuadrilátero $PQP_1Q_1$ es cíclico si y solamente si el cuadrilátero $XYP_1Q_1$ es cíclico (por ángulos entre paralelas con $XY\parallel PQ$). Por potencia de un punto basta ver que $WP_1\cdot WX ...
por Ivan
Sab 15 Jun, 2019 4:17 pm
Foro: Problemas Archivados
Tema: Problema 5 APMO 2013
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Re: Problema 5 APMO 2013

Creo que esta solución esta mal, porque... se toma una perspectiva con respecto a la circunferencia desde $R$, que es un punto exterior a la misma. De hecho, nunca se usa que $R$ cae sobre la tangente a la circunferencia por $C$, y es claro que lo que se intenta demostrar es mentira si no hacemos a...
por Ivan
Sab 15 Jun, 2019 3:35 pm
Foro: Geometría
Tema: Colineales (habemus Pappus)
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Re: Colineales (habemus Pappus)

Spoiler: mostrar
Sea $M=BC'\cap CB'$. Por Pappus $K$, $M$ y $L$ están alineados. Ahora por Pappus con $K$, $M$, $L$ y $C$, $O$, $B$ concluimos que los puntos $X$, $Y$ y $A'$ están alineados.
por Ivan
Sab 15 Jun, 2019 9:59 am
Foro: Geometría
Tema: Cuatro Pappus, una concurrencia.
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Re: Cuatro Pappus, una concurrencia.

Sean $A_l$, $B_l$ y $C_l$ tres puntos en una recta $l$. Sean $A_m$, $B_m$ y $C_m$ tres puntos en una recta $m$. Sean $$\begin{align*} A_n&=B_lC_m\cap C_lB_m \\ B_n&=C_lA_m\cap A_lC_m \\ C_n &= A_lB_m\cap B_lA_m \end{align*}.$$ Por el Teorema de Pappus $A_n$, $B_n$ y $C_n$ pertenecen a una recta $n$....
por Ivan
Sab 25 May, 2019 4:38 pm
Foro: Geometría
Tema: Composición de inversiones
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Re: Composición de inversiones

Vamos a usar tres cosas: (1) Invertir preserva angulos entre circunferencias. (2) Si $\Gamma$ y $\omega$ son ortogonales, entonces $\omega$ es su propia inversa con respecto a $\Gamma$. (3) Sean $\Gamma$ y $\omega$ dos circunferencias. Una recta que pasa por el centro de $\Gamma$ corta a $\omega$ en...
por Ivan
Sab 25 May, 2019 4:26 pm
Foro: Geometría
Tema: Composición de inversiones
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Composición de inversiones

Si $\Gamma$ es una circunferencia notamos $\Psi_\Gamma$ a la transformación del plano dada por invertir respecto de $\Gamma$.
Probar que si $\Gamma$ y $\omega$ son dos circunferencias se tiene
$$\Psi_\Gamma\circ \Psi_\omega = \Psi_{\Psi_\Gamma(\omega)}\circ \Psi_\Gamma.$$
por Ivan
Lun 06 May, 2019 12:13 am
Foro: Algebra
Tema: IMO 2008 - P4
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Re: IMO 2008 - P4

BrunZo escribió:
Dom 05 May, 2019 6:15 pm
Solución:
Nunca hay que olvidarse de verificar que las soluciones funcionan. Eso habitualmente vale 1 punto.
por Ivan
Mié 01 May, 2019 5:15 pm
Foro: Problemas Archivados
Tema: Nacional N2 P1 2007
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Re: Nacional N2 P1 2007

Como te puede dar resto 6 cuando estas escribiendo los números en modulo 6? Tenés razón, donde dice Pensar todos los números como restos módulo $6$. Tenemos que los restos $0$, $4$, $5$, $6$ aparecen $334$ veces cada uno y los restoss $1$, $2$, $3$ aparecen $335$ veces cada uno. debería decir Pensa...
por Ivan
Sab 02 Mar, 2019 1:58 pm
Foro: Problemas
Tema: Selectivo IMO, Perú 2019. Problema 3
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Re: Selectivo IMO, Perú 2019. Problema 3

Primero recordemos que $M$ es el punto medio del arco $BC$ (que no contiene a $A$) de $\Gamma$. Además $MO$ es la mediatriz de $BC$. Luego $MO$ corta a $\Gamma$ nuevamente en el punto medio $N$ del arco $BC$ (que contiene a $A$) de $\Gamma$. Entonces lo que queremos es probar que $Q$, $A$ y $N$ está...