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Consideramos todos los números de $7$ dígitos que se obtienen permutando de todas las maneras posibles los dígitos de $1234567$. ¿Cuántos de ellos son divisibles entre $7$?

En un cuadrilátero $ABCD$ se cumple que $\angle{ABC}=\angle{ADC}=90^{\circ}$ y $\angle{BCD}$ es obtuso. En el interior del cuadrilátero se ubica el punto $P$ tal que $BCDP$ es un paralelogramo. La recta $AP$ corta al lado $BC$ en $M$. Además $BM = 2 ~, MC = 5$ y $CD = 3$ . Determinar la longitud de ...

Varios números reales diferentes están escritos en el pizarrón. Si $a,~ b,~ c$ son tres de estos
números, distintos entre sí, al menos una de las sumas $a+b,~ b+c,~ c+a$ también es uno de los
números del pizarrón. ¿Cuál es la mayor cantidad de números que pueden estar escritos en el pizarrón?

Decimos que un número entero positivo es ascendente si sus cifras leídas de izquierda a derecha están en orden estrictamente creciente. Por ejemplo, $458$ es ascendente y $2339$ no lo es.
Hallar el mayor número ascendente que es múltiplo de $56$.

Diremos que dos números enteros positivos $a$ y $b$ forman una pareja adecuada si $a+b$ divide a $ab$ (su suma divide a su multiplicación). Hallar $24$ números enteros positivos que se puedan distribuir en $12$ parejas adecuadas, y de modo que cada número entero figure en una sola pareja y el mayor ...

Sea $n$ un entero par mayor que $2$. Sobre los vértices de un polígono regular de n lados se pueden colocar fichas rojas o azules. Dos jugadores, $A$ y $B$, juegan alternándose turnos del siguiente modo: cada jugador, en su turno, elige dos vértices que no tengan fichas y coloca en uno de ellos una ...

Sea $ABCD$ un rombo de lados $AB=BC=CD=DA=13$. Sobre el lado $AB$ se construye el rombo $BAFE$, exterior al $ABCD$ y tal que el lado $AF$ es paralelo a la diagonal $BD$ del $ABCD$. Si el área del $BAFE$ es igual a $65$, calcular el área del $ABCD$.

¿Es posible pintar $33$ casillas de un tablero de $9\times 9$ de forma que cada fila y cada columna del tablero tenga como máximo $4$ casillas pintadas, pero si además pintamos cualquier otra casilla aparece alguna fila o columna que tiene $5$ casillas pintadas?

A cada número de tres dígitos Matías le sumó el número que se obtiene invirtiendo sus dígitos. Por ejemplo, al número $927$ le sumó el $729$. Calcular en cuántos casos el resultado de la suma de Matías es un número con todos sus dígitos impares.

Cada punto de una circunferencia está coloreado con uno de $10$ colores. ¿Es cierto que para cualquier coloración hay $4$ puntos del mismo color que son vértices de un cuadrilátero con dos lados paralelos (un trapecio isósceles o un rectángulo)?