Se encontraron 68 coincidencias
- Lun 05 Feb, 2024 10:49 pm
- Foro: Problemas Archivados de Álgebra
- Tema: OFO 2024 Problema 9
- Respuestas: 7
- Vistas: 702
Re: OFO 2024 Problema 9
Con $x=0,y=2$ $f(0)=2f(0)$, entonces $f(0)=0$ --Caso 1: Si $f(1)=0$: Con $y=1$: $f(x^2)=(x+1)f(x)$ Con $y=0$: $f(x^2)=xf(x)$ Entonces $xf(x)=(x+1)f(x)$ $f(x)=0$ Entonces si $f(1)=0$, $f(x)=0$ para todo $x$ Reemplazando $f(x)=0$ en el enunciado, esta solución es valida. --Caso 2: Si $f(1)\neq 0$ Si ...
- Lun 05 Feb, 2024 10:48 pm
- Foro: Problemas Archivados de Álgebra
- Tema: OFO 2024 Problema 7
- Respuestas: 5
- Vistas: 572
Re: OFO 2024 Problema 7
Sabemos que multiplicando los pesos por $1,0$ o $-1$ y sumando, que se corresponde a poner la piedra en el primer plato, no ponerla en ninguno, o ponerla en el segundo, se pueden obtener todos los números entre $1$ y $40$, por lo que también poniendo los signos opuestos, se pueden obtener todos los...
- Lun 05 Feb, 2024 10:47 pm
- Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
- Tema: OFO 2024 Problema 6
- Respuestas: 5
- Vistas: 607
Re: OFO 2024 Problema 6
$f(n)$ es la operacion que se le aplica a $n$, es decir $\lfloor{\frac{n}{10}}\rfloor+4(n $ mod $ 10)$ Si $39|n$, $39|f(n)$ Demostración: si $39|n$ $10f(n)=n-(n $ mod $ 10)+10 * 4(n $ mod $ 10)=n+39(n $ mod $ 10)$ Entonces $39|10f(n)$ Como $39$ es coprimo con $10$ $39|f(n)$ Como el máximo resto en ...
- Lun 05 Feb, 2024 10:46 pm
- Foro: Problemas Archivados de Geometría
- Tema: OFO 2024 Problema 5
- Respuestas: 7
- Vistas: 912
Re: OFO 2024 Problema 5
$H$ es el punto medio de $AC$ es decir el centro del cuadrado $ABCD$ Como $AE=2AN$ y $AC=2AH$, los triángulos $AHN$ y $ACE$ son similares, y $CE=2HN$ Como $CD=2CM$ y $CA=2CH$, los triángulos $CMH$ y $CDA$ son similares, y $DA=2MH$ Entonces como el triángulo $ECB$ es equilátero: $2MH=DA=CB=CE=2HN$ y...
- Lun 05 Feb, 2024 10:42 pm
- Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
- Tema: OFO 2024 Problema 4
- Respuestas: 6
- Vistas: 794
Re: OFO 2024 Problema 4
Lema: al apretar el boton $4k+1$ veces con $k \geq 0$ se obtiene el número $20k+2$, con $4k+2$ se obtiene $20k+4$, con $4k+3$ se obtiene $20k+8$, con $4k+4$ se obtiene $20k+16$. Demostración: Con $k=1$ se puede verificar a mano Llamamos ($n+n$%$10$ a $n$ mas su resto en la division por $10$) Con $k...
- Lun 05 Feb, 2024 10:41 pm
- Foro: Problemas Archivados de Álgebra
- Tema: OFO 2024 Problema 2
- Respuestas: 3
- Vistas: 545
Re: OFO 2024 Problema 2
Sabemos que la cantidad de goles del equipo $A$ es la suma de los números impares del $1$ al $2024$ es decir $A=1^2+3^2+5^2+...+2023^2$ y la cantidad de goles del equipo $B$ es la suma de los números pares del $1$ al $2024$ es decir $B=2^2+4^2+...+2024^2$ La diferencia de goles $B-A$ es $B-A=(2^2-1...
- Lun 05 Feb, 2024 10:39 pm
- Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
- Tema: OFO 2024 Problema 1
- Respuestas: 3
- Vistas: 731
Re: OFO 2024 Problema 1
$P(k,d)$ es la cantidad de numeros que son pares, tienen $k$ dígitos, no contienen al dígito $0$, la diferencia entre cada par de dígitos consecutivos es $3$, y su primer dígito es $d$ Para $k=1$ $P(k,d)=1$ si $d$ es impar y $P(k,d)=0$ si $d$ es par El problema se puede dividir en $3$ casos: Si el ...
- Lun 05 Feb, 2024 10:38 pm
- Foro: Problemas Archivados de Geometría
- Tema: OFO 2024 Problema 12
- Respuestas: 4
- Vistas: 393
Re: OFO 2024 Problema 12
$E$ es el reflejo de $X$ por la mediatriz de $AB$, y $F$ es el reflejo de $X$ por la mediatriz de $AC$ $O$ es el circuncentro de $BAC$ Además como la mediatriz de $AB$ es la misma que la de $XE$, y la de $AC$ la misma que la de $XD$, el circuncentro de $EXD$ es $O$ Como $XE$ es paralela a $AB$, $XE...
- Lun 05 Feb, 2024 10:34 pm
- Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
- Tema: OFO 2024 Problema 10
- Respuestas: 4
- Vistas: 481
Re: OFO 2024 Problema 10
La inversa de una permutación $p=(p_1,p_2...p_n)$ es otra permutacion $q$ tal que para todo $1\leq i \leq n$ $q_{p_i}=i$ La inversa de la inversa de $p$ es $p$, ya que como la inversa de $p$, $q$ es tal que $q_{p_i}=i$, entonces la inversa de $q$, $k$, es tal que $k_{q_i}=i$, entonces $k_i=k_{q_{p_...
Re: OFO 2024
Me inscribo