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Peligro, esta solución puede ser danina para su salud Consideremos la factorización en primos de $n$, $n=\prod_k p_k^{\alpha_k}$. Es conocido que la suma de los divisores de $n$ es $S(n)=\prod_k \frac{p_k^{\alpha_k}-1}{p_k-1}$ y que la cantidad de divisores de $n$ es $C(n)=\prod_k (1+\alpha_k)$. Lue...

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Sean $a$, $b$, $c$ números positivos con $abc\geq1$. Probar que

$$\frac{1}{a^3+2b^3+6}+\frac{1}{b^3+2c^3+6}+\frac{1}{c^3+2a^3+6}\leq\frac{1}{3}$$

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Sea \omega la circunferencia circunscripta de \triangle ABC y sea E la intersección de la prolongación de AD con \omega . Como AE es bisectriz de \angle A , se tiene que BE=EC . Sea F el pie de la altura de \triangle BEC trazada desde E . Notemos que como \angle C>\angle B se sigue que F se encuent...

Primero demostremos que el punto D se encuentra en el segmento AM . Para ello, sea B el punto de intersección de la bisectriz de \angle B con AC . Por el teorema de la bisectriz se tiene que \frac{BC}{AB}=\frac{15}{10}=\frac{CE}{EA} , con lo cual la longitud de CE es mayor que la longitud de EA , e...

Hola, acá hay varios links que te pueden ayudar http://www.omaforos.com.ar/viewtopic.php?f=2&t=542 http://omaforos.com.ar/viewtopic.php?f=2&t=1174 http://omaforos.com.ar/viewtopic.php?f=2&t=2411 Para practicar, en el Archivo de enunciados podés encontrar pruebas tomadas en años anteriore...

Sean \angle BAC=\alpha , \angle CBA=\beta , \angle ACB=\gamma , O el circuncentro de \triangle ADE , P la intersección de XY con OM , Q el punto medio de EC , R el punto medio de BD y S la intersección de ED con OM . Como \angle BDC=\angle BEY=90^{\circ} , sigue que BDEC es cíclico, y como M es pun...

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