OMA Foros

ACLARACIÓN: Todo lo que sigue no está de ninguna forma vinculado al Foro ni al equipo del mismo, sino que está realizado independientemente por un grupo de olímpicos. Asimismo, este evento no tiene ningún carácter "oficial". Estimados mortales, Nuevamente me encuentran a través de este me...

Solución: Vamos a probar que $r=12$ funciona por inducción fuerte en $n$. Caso base: si $n=1$, el enunciado se satisface trivialmente. Hipótesis inductiva: supongamos que el enunciado se satisface con $r=12$ para todo $n \in [1;k]$. Vamos a demostrar que también es válido para $n=k+1$. Supongamos qu...

Solución: Aclaración: usamos $\measuredangle$ como ángulo dirigido para que el enunciado valga en todas las configuraciones. De todos modos, es posible comprender la solución sin saber manejarse con dirigidos, siguiendo los pasos en la demostración. Se aceptaron como correctas las soluciones que no ...

Solución: Tenemos que $$ab= \frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4} = n^2+1 \Rightarrow (a+b)^2=4(n^2+1)+(a-b)^2$$ Como $(a+b)^2$ es cuadrado y $4(n^2+1)+(a-b)^2>4n^2=(2n)^2$, podemos concluir que $$(a+b)^2=4(n^2+1)+(a-b)^2 \geq (2n+1)^2 \Rightarrow (a-b)^2 \geq 4n-3 \Rightarrow a-b \geq \sqrt {4n-3}$$ Finalmente...

Solución: $f(1)=0$ $f(p)=1$ $f(xy)=yf(x)+xf(y)$ Vamos a usar inducción en la cantidad de factores primos no necesariamente distintos de un número $n\geq 2$ para sacar la función $n=p_1p_2...p_i$ Caso base $i=1$ $n=p \Rightarrow f(n)=1=p(\frac{1}{p})=n(\frac{1}{p})$ Supongamos que para todo $i<M$ Dad...

Sea $c$ una constante tal que, para toda permutación $a_1, a_2, \dots, a_n, \dots$ de los enteros positivos, existen infinitos $i$ que cumplen $\text{mcd}(a_i, a_{i+1}) \leq ci$.
a) Determinar si $c$ puede tomar un valor menor a $\frac{3}{4}$.
b) Hallar el menor valor posible de $c$.

Dado un trío de enteros no negativos, en cada paso Mauro elige dos de sus elementos, $a$ y $b$, y cambia uno de ellos por $a+b$ o $|a-b|$. Probar que existe una constante $r>0$ tal que, para cualesquiera enteros positivos $x,y,z,n$ con $x,y,z < 2^n$, Mauro puede transformar el trío $(x;y;z)$ en $(x'...

Dado un triángulo $ABC$, sean $M$ y $N$ los puntos medios de $AC$ y $AB$, respectivamente. Se marca el punto $D$ en $BC$ tal que $AD=DB$. $DM$ corta a $AB$ en $K$. Las circunferencias circunscritas de $KAM$ y $KND$ se intersecan nuevamente en $P$.
Demostrar que $\angle PAC= \angle ABC$.

Sean $a, b$ y $n$ enteros positivos tales que $a > b$ y $ab - 1 = n^2$. Probar que
$$a - b \geq \sqrt {4n - 3}$$
e indicar para qué valores se alcanza la igualdad

Sea $S$ un conjunto de enteros positivos menores o iguales a $15$. Supongamos que no hay dos subconjuntos de $S$ con misma suma. Hallar la máxima suma de $S$ posible.
Aclaración: la suma de un conjunto finito se define como la suma de todos sus elementos.