Se encontraron 53 coincidencias

por COFFEE
Sab 20 Jun, 2020 12:09 pm
Foro: General
Tema: Resultados COFFEE: "Ariel Zylber"
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Resultados COFFEE: "Ariel Zylber"

Resultados COFFEE: "Ariel Zylber" Finalmente ha llegado el momento tan esperado de entregar los premios de esta edición de la COFFEE. Antes de que desesperadamente te muevas hacia la tabla es importante que sepas que ya están siendo publicadas las soluciones oficiales de todos los problemas de la C...
por COFFEE
Lun 08 Jun, 2020 9:02 am
Foro: Problemas Archivados de Álgebra
Tema: COFFEE "Ariel Zylber" - Problema D
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Re: COFFEE "Ariel Zylber" - Problema D

Aquí publicaremos la solución oficial.
por COFFEE
Lun 08 Jun, 2020 9:01 am
Foro: Problemas Archivados de Álgebra
Tema: COFFEE "Ariel Zylber" - Problema C
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Re: COFFEE "Ariel Zylber" - Problema C

Solución Oficial: Empecemos considerando $a=1$ y $b=1$. Como $f(1)\neq \frac{1}{2}$, obtenemos que:$$2f(1)-1\mid 2f(1).$$Luego,$$2f(1)-1\mid 2f(1)-(2f(1)-1)=1.$$Surgen dos posibilidades, $2f(1)-1=-1$ o $2f(1)-1=1$. Como $f(1)$ es positivo, la única opción que queda es $f(1)=1$. Si ahora evaluamos e...
por COFFEE
Lun 08 Jun, 2020 9:01 am
Foro: Problemas Archivados de Álgebra
Tema: COFFEE "Ariel Zylber" - Problema B
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Re: COFFEE "Ariel Zylber" - Problema B

Solución Oficial: Usamos la notación $a\mid b$ que se lee "$a$ divide a $b$". Como todos los números son naturales, vamos a evaluar en los valores más chicos posibles para $n$ y $p$, considerando entonces $n=1$ y $p=2$ obtenemos que$$2\mid f(1)!f(1)+1$$entonces $f(1)!f(1)+1$ es par, por lo que $f(1...
por COFFEE
Lun 08 Jun, 2020 9:01 am
Foro: Problemas Archivados de Álgebra
Tema: COFFEE "Ariel Zylber" - Problema A
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Re: COFFEE "Ariel Zylber" - Problema A

Solución Oficial: Como primera observación, notamos que $n^2+3n+3$ tiene una forma parecida a un binomio al cuadrado, con esto en mente vemos que$$n^2+3n+3=n^2+2n+1+n+2=(n+1)^2+n+2$$entonces del lado derecho tenemos un cuadrado perfecto y algo más, pero del lado izquierdo también tenemos un cuadrad...
por COFFEE
Lun 08 Jun, 2020 9:00 am
Foro: Problemas Archivados de Álgebra
Tema: COFFEE "Ariel Zylber" - Problema 4
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Re: COFFEE "Ariel Zylber" - Problema 4

Solución Oficial: Vamos a emplear una notación muy útil en problemas de funciones, llamamos $P(x,y)$ a la proposición $f\left (x^2+xy\right )=f(x)f(y)+yf(x)+xf(x+y)$, esto significa que si escribimos por ejemplo $P(1,5)$ estamos reemplazando $x=1$ e $y=5$, por lo que la igualdad sería $f\left (1^2+...
por COFFEE
Lun 08 Jun, 2020 8:59 am
Foro: Problemas Archivados de Álgebra
Tema: COFFEE "Ariel Zylber" - Problema 3
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Re: COFFEE "Ariel Zylber" - Problema 3

Solución Oficial: Intentemos hallar $f(0)$. Reemplazamos $y=x$, la condición del enunciado nos dice que$$f\left (x^2-x^2\right)=(x+x)(f(x)-f(x))$$entonces$$f(0)=0$$Ahora, considerando $y=0$ tenemos que $f\left (x^2\right )=xf(x)$, y considerando $x=0$ tenemos que $f\left (-y^2\right )=-yf(y)$, junt...
por COFFEE
Lun 08 Jun, 2020 8:58 am
Foro: Problemas Archivados de Álgebra
Tema: COFFEE "Ariel Zylber" - Problema 2
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Re: COFFEE "Ariel Zylber" - Problema 2

Solución oficial 1 Veamos qué remplazos podemos hacer para que la ecuación se simplifique y nos dé información más clara sobre $f$. Si queremos que el $x-f(y)$, que está dentro de la función del lado izquierdo, se simplifique, podríamos hacer el reemplazo $x=f(y)$ para que nos quedo $f(x-f(y))=f(0)...
por COFFEE
Lun 08 Jun, 2020 8:57 am
Foro: Problemas Archivados de Álgebra
Tema: COFFEE "Ariel Zylber" - Problema 1
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Re: COFFEE "Ariel Zylber" - Problema 1

Solución Oficial: Como $f(1)=3$, queremos hallar el valor de $f(-3)$. Reemplazamos $y=1$ y nos queda $9f(x+1)=3f(x)$, es decir, $3f(x+1)=f(x)$. Usando muchas veces esto obtenemos$$\begin{align*}f(-f(1)) & =f(-3) \\ & =3f(-2) \\ & =9f(-1) \\ & =27f(0) \\ & =81f(1) \\ & =81\cdot 3 \\ & =243 \end{alig...
por COFFEE
Lun 08 Jun, 2020 1:01 am
Foro: General
Tema: Terminó la COFFEE: "Ariel Zylber"
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Terminó la COFFEE: "Ariel Zylber"

Terminó la COFFEE: "Ariel Zylber"! Hoy abriremos los threads de los problemas. Próximamente vamos a publicar las soluciones oficiales allí. Mientras tanto, pueden aprovechar para contar qué hicieron en cada problema, o a qué resultados llegaron. En el transcurso de estos días vamos a mandar por Men...