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Problema 191 Sea $ABCD$ un cuadrilatero convexo con $∠BAD= 90^{\circ}$, y sean $M$ y $N$ los puntos medios de los lados $BC$ y $CD$ respectivamente. Si $\angle BAM= \angle MAN=\angle NAD$, demostrar que $\angle DCB= 60^{\circ}$ Solución 191 En $\triangle {BCD}$, $\overline {MN}$ es base media de $\...

Dado un número natural $n>1$, definimos las siguientes dos operaciones. Operación $1$: Se calcula la parte entera de cada una de las $n$ fracciones $\frac{n}{1},\frac{n}{2},\ldots ,\frac{n}{n}$, y luego se suman:$$\left [\frac{n}{1}\right ]+\left [\frac{n}{2}\right ]+\cdots +\left [\frac{n}{n}\right...

En un reino hay $12$ ciudades. Entre ciertos pares de ciudades se crean enlaces de ida y vuelta de ómnibus, tren o avión. Hallar la menor cantidad de enlaces necesaria para que, si hay un paro de uno cualquiera de los tres medios de transporte, igual sea posible viajar desde cada ciudad a todas las ...

Sea $f(P(x))=P(x)^2-2$. Queremos calcular el coeficiente de $x^2$ en $f_{k}(x-2), k \in \mathbb {Z}^+$. Sean $a_{2_{k}}$ el coeficiente correspondiente a $x^2$ en $f_{k}(x-2)$, $a_{1_{k}}$ el coeficiente correspondiente a $x$ en $f_{k}(x-2)$, $a_{0_{k}}$ el término independiente en $f_{k}(x-2)$ y $...

Lema: si $a \leq b$, entonces se cumple lo siguiente con su media: $a \leq \frac{a+b}{2} \leq b$ con igualdad sí y solo sí $a=b$. Demostración: $\frac{a+b}{2} \geq \frac{a+a}{2} = \frac{2a}{2} = a$ y $\frac{a+b}{2} \leq \frac{b+b}{2} = \frac{2b}{2} = b$, por lo que en efecto $a \leq \frac{a+b}{2} \...

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Por teorema de bisectriz en $\triangle{BMK}$ y $\triangle{BCK}$ respectivamente, $\frac{KM}{BM} = \frac{KL}{BL}$ y $\frac{KC}{BC} = \frac{KL}{BL} \Rightarrow \frac{KM}{BM} = \frac{KC}{BC}$. Veamos que $M\hat{B}K=C\hat{B}K$, $\frac{KM}{BM} = \frac{KC}{BC}$, por lo que o bien los triángulos antes nom...

Primero notemos que si no hubiera puntos alineados, entonces habría $\frac{65\times 64}{2}=65\times 32=2080$ rectas distintas. Ahora bien, cuando alineamos tres puntos $A$, $B$ y $C$, las tres rectas, $AB$, $AC$ y $BC$, pasan a ser una misma, por lo que en total hay dos rectas menos. Sin embargo, v...

Se tienen $65$ puntos del plano. Se trazan todas las rectas que pasan por dos de ellos y se obtienen exactamente $2015$ rectas distintas. Demostrar que al menos cuatro de los puntos están alineados.

Sea $A'$ en la recta $AC$, tal que $\overline {A'B}=\overline {AB}$. Por lo tanto, $B \hat {A'}C=B \hat {A}C$ y $B \hat {C}A'=180°-2\times{60°}=60°=A \hat{C}D \Rightarrow \triangle {A'BC} \sim \triangle {ACD} \Rightarrow \frac{BC}{CD}=\frac{A'B}{AD}$. Aquí, $\overline {BC}=2$, $\overline {A'B}=\ove...