OMA Foros

a) RTA : el único número que puede quedar para todo $n$ es $-1$. No importa qué otro número $a$ agarremos, cuando reemplacemos $a$ y $-1$ quedará escrito $a(-1)+a+(-1)=-a+a-1=-1$, por lo tanto, como en algún momento se debe hacer reemplazos con este y en ningún momento podrá desaparecer del pizarró...

En el pizarrón están escritos varios números primos (algunos repetidos). Mauro sumó los números del pizarrón y Fernando multiplicó los números del pizarrón. El resultado que obtuvo Fernando es igual a $40$ veces el resultado que obtuvo Mauro. Determinar cuáles pueden ser los números del pizarrón. Da...

Determinar todas las parejas de números naturales $a$ y $b$ tales que $\frac {a+1}{b}$ y $\frac {b+1}{a}$ son números naturales.

Decimos que un número de cuatro dígitos $abcd$ ( $a ≠ 0$ ) es porá si se cumplen las siguientes condiciones:
$a \geq b$;
$ab - cd = cd - ba$.
Por ejemplo, $2011$ es porá porque $20 - 11 = 11 - 02$.
Hallar todos los números porá.

RTA : $x=\overbrace{33\cdots 3}^{2009}7$. Verificación : $S(x)=2009\times 3+7=6034$. $3x=3\times 37+3\left (\sum \limits _{i=2}^{2008}3\times 10^i\right )$ y resolviendo, $3x=111+9\left (\sum \limits _{i=2}^{2008}10^i\right )=111+9\frac{10^{2009}-100}{9}=10^{2009}+11=1\overbrace{00\cdots 0}^{2007}1...

Hallar un número entero positivo $x$ tal que la suma de los dígitos de $x$ sea mayor que $2011$ veces la suma de los dígitos del número $3x$ ($3$ por $x$).

WhatsApp Image 2020-07-28 at 00.29.41.jpeg Como $\triangle {ABC}$ es acutángulo,$E$ y $F$ son un punto del interior de $\overline {AB}$ y $\overline {AC}$, respectivamente. De este modo, se puede afirmar que $\overline {AB} = \overline {BF} + \overline {AF}$ y $\overline {AC} = \overline {CE} + \ov...

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $A = 60°$. Sean $E$, $F$ los pies de las alturas desde $B$, $C$ respectivamente. Demostrar que $CE - BF = \frac {3}{2} (AC - AB)$.

WhatsApp Image 2020-07-26 at 00.11.04.jpeg Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $\overline{AD}$ y $\overline{BC}$, respectivamente, $E=\overleftrightarrow{MN}\cap \omega _1$, $F=\overleftrightarrow{MN}\cap \omega _2$, ambos exteriores al trapecio, y $\omega _3$, la circunferencia de diámetro $\overl...

En el trapecio $ABCD$ con $AB \parallel {CD}$ , $\omega_1$ y $\omega_2$ son dos circunferencias de diámetros $AD$ y $BC$ respectivamente. Sean $X$ e $Y$ dos puntos arbitrarios en $\omega_1$ y $\omega_2$ respectivamente. Demostrar que la longitud del segmento $XY$ es menor o igual que la mitad del pe...