Se encontraron 319 coincidencias

por Fedex
Lun 10 Feb, 2025 9:19 pm
Foro: Problemas
Tema: OFO 2025 Problema 13
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Re: OFO 2025 Problema 13

Trabajamos siempre sobre enteros suficientemente grandes para que $f(x)$ sea positivo y $x \geq M$ para que se verifique la condición del enunciado. Supongamos que $p$ primo impar verifica $p | f(2^k)$ para algún $k$, luego se dará que $p | f(2^k + mp)$ para todo natural $m$. Queremos elegir $m$ in...
por Fedex
Mié 15 Ene, 2025 1:59 pm
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: Sel Ibero 2000 Problema 4
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Re: Sel Ibero 2000 Problema 4

Cosa importante: mi solución de arriba está mal jajajaj
por Fedex
Mar 14 Ene, 2025 1:37 pm
Foro: General
Tema: OFO 2025
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Re: OFO 2025

Yo ya estuve en estos juegos
por Fedex
Mar 07 Ene, 2025 5:48 pm
Foro: Combinatoria
Tema: El Juego del Calamar
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Re: El Juego del Calamar

Sea $\mathbb{P}(n,k)$ la probabilidad de que el último jugador sobreviva siendo $n \geq 1$ jugadores y $k \geq 1$ paneles. Luego: $$\mathbb{P}(n,k) = \frac{1}{2} \mathbb{P}(n,k-1) + \frac{1}{2} \mathbb{P}(n-1,k-1)$$ Separando en los casos donde el primer panel no se rompe / se rompe respectivamente...
por Fedex
Lun 06 Ene, 2025 10:03 pm
Foro: Problemas Archivados de Álgebra
Tema: Entrenamiento Rio 2019 - Problema 4 - N2 y N3
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Re: Entrenamiento Rio 2019 - Problema 4 - N2 y N3

$f = 0$ es solución por lo que suponemos que $f$ no es identicamente $0$. Dado que $f(f(x)y) = 2f(x)f(y)$ los factores $f(x)$ dentro de la $f$ salen afuera como $2f(x)$, por lo que: $$f(f(x)^ny) = (2f(x))^n f(y)$$ Donde, podemos tomar $y$ de modo que $f(y) \neq 0$ y se desprende que para todo $x$: ...
por Fedex
Vie 03 Ene, 2025 3:34 pm
Foro: Geometría
Tema: IGO 2014 - Nivel Avanzado - Problema 3
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Re: IGO 2014 - Nivel Avanzado - Problema 3

Es conocido que: Lema: Sean $A$, $B$, $C$, $D$ puntos sobre una recta en ese orden que forman una cuaterna armónica y sean puntos $X$ e $Y$ que verifican que: $X$, $C$, $Y$ son colineales con $C$ entre $X$ e $Y$ $AX$ es tangente a $(BXD)$ y $AY$ es tangente a $(BYD)$ Luego $BXDY$ son concíclicos. A...
por Fedex
Mar 31 Dic, 2024 8:38 pm
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: Ibero 2005 - P3
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Re: Ibero 2005 - P3

Sea $\displaystyle S = \sum_{i=1}^{p-1} \frac{1}{i^p}$ luego: $$2S = \sum_{i=1}^{p-1} \frac{1}{i^p} + \frac{1}{(p-i)^p} = \sum_{i=1}^{p-1} \frac{i^p + (p-i)^p}{i^p (p-i)^p} $$ Siendo $\displaystyle i^p + (p-i)^p = \sum_{j=1}^{p} \binom{p}{j} (-i)^{p-j} p^j \equiv p^2 i^{p-1} \; (p^3)$ y así: $$2S \...
por Fedex
Vie 27 Dic, 2024 4:50 pm
Foro: Algebra
Tema: Entrenamiento Rio 2022 N1 P7
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Re: Entrenamiento Rio 2022 N1 P7

Queremos probar que: $$\sum_{cyc} \frac{1}{x^3 + 2 y^3 + 6} \leq \frac{1}{3} \iff \sum_{cyc} \frac{1}{\frac{x^3 + 2 y^3}{3} + 2} \leq 1$$ Donde por AM-GM y la condición del enunciado resulta cada termino: $$\frac{x^3 + 2y^3}{3} \geq xy^2 \geq \frac{y}{z}$$ Y así: $$\sum_{cyc} \frac{1}{\frac{x^3 + 2...
por Fedex
Jue 26 Dic, 2024 10:47 pm
Foro: General
Tema: Problema preferido del 2024
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Re: Problema preferido del 2024

Así que yo recuerde que me llamaron mucho la atención:
APMO 2024 P3, Rioplatense 2024 N3P3, Cono Sur 2024 P2, Nacional 2024 N1P3.
por Fedex
Mar 24 Dic, 2024 12:59 pm
Foro: Algebra
Tema: Olimpiada Navideña de Matemática 2024 P15
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Re: Olimpiada Navideña de Matemática 2024 P15

$\log(1 + \frac{1}{x})$ es convexa luego vale por Jensen que: $$\log(1 + \frac{n}{x_1 + x_2 + \cdots +x_n}) \leq \frac{\log(1 + \frac{1}{x_1}) + \log(1 + \frac{1}{x_2}) + \cdots + \log(1 + \frac{1}{x_n})}{n} = \log(n+1)$$ De modo que $1 + \frac{n}{x_1 + x_2 + \cdots +x_n} \leq n+1$ y así $x_1 + x_2...