Se encontraron 255 coincidencias

por Fedex
Jue 29 Feb, 2024 5:24 pm
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: Entrenamiento Iberoamericana 2023 P33
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Re: Entrenamiento Iberoamericana 2023 P33

Notar que $\lfloor a + b \rfloor \geq \lfloor a \rfloor + \lfloor b \rfloor$ con igualdad sii $\lbrace a \rbrace + \lbrace b \rbrace < 1$ luego $\lfloor 2^{k+1}r \rfloor \geq 2 \lfloor 2^kr \rfloor$ Y además para $k > 1$ se da $3 \lfloor 2^kr \rfloor > 3 (2^kr - 1) \geq 2^{k+1}r \geq \lfloor 2^{k+1...
por Fedex
Dom 04 Feb, 2024 9:23 pm
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: OFO 2024 Problema 6
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Re: OFO 2024 Problema 6

Aquí publicaremos la solución oficial.
por Fedex
Vie 26 Ene, 2024 12:02 am
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: OFO 2024 Problema 6
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OFO 2024 Problema 6

Alan y Mili juegan al siguiente juego. Primero, Alan elige un número entero positivo $n$. Luego, Mili escribe una lista de números con las siguientes tres reglas. El primer número de la lista es $n$. Cada número después del primero es el resultado de tomar el número anterior, suprimir su dígito de l...
por Fedex
Vie 12 Ene, 2024 1:36 am
Foro: Problemas
Tema: Simulacro de Nacional Politecnico 2023 - P6 N1
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Re: Simulacro de Nacional Politecnico 2023 - P6 N1

Me parece un problema muy cute Vamos a demostrar que sin importar lo que ocurra, es imposible que finalmente todos los amigos hayan comprado bengalas. Decimos que una amistad es mixta si es entre una persona que compró bengalas y otra que no. Sea $A$ la cantidad de amistades mixtas, afirmo que $A$ d...
por Fedex
Jue 04 Ene, 2024 3:27 pm
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: Rioplatense 2023 N1 P6
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Re: Rioplatense 2023 N1 P6

Sean $A_1, \cdots, A_{2023}$ y $B_1, \cdots, B_{2023}$ los amigos de la primera y segunda sala respectivamente. Decimos que en una ronda dos jugadores $A_i$ y $A_j$ son muy-amigos si en sus partidas comparten exactamente dos rivales entre los $B$’s. Decimos además que dos $A_i$ y $A_j$ son súper-am...
por Fedex
Jue 04 Ene, 2024 3:12 pm
Foro: Algebra
Tema: 2011 Morocco M.O
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Re: 2011 Morocco M.O

Spoiler: mostrar
Notar que $f(x) = \max(2xy - f(y)) \geq 2x^2 - f(x)$ luego $f(x) \geq x^2$
Por lo que $x^2 \leq f(x) = \max(2xy - f(y)) \leq \max(2xy - y^2) \leq x^2$ al ser para todo $y$: $2xy - f(y) \leq 2xy - y^2$ y $2xy - y^2 \leq x^2$.
Luego $f(x) = x^2$ que es de hecho una solución.
por Fedex
Jue 04 Ene, 2024 2:55 pm
Foro: Problemas
Tema: Simulacro de Nacional Politecnico 2023 - P6 N3
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Re: Simulacro de Nacional Politecnico 2023 - P6 N3

Supongamos que $p$ primo es tal que $a_p$ y $a_{p+1}$ no son coprimos, sea $d = \gcd(a_p, a_{p+1})$, notemos que: $$a_{p+1} = x \cdot a_p + y \cdot a_{p-1} + 1 \Rightarrow y \cdot (-a_{p-1}) \equiv 1 \; (d)$$ Por lo que $y$ es coprimo con $d$. Supongamos que tenemos $a_n$ y $a_{n+1}$ modulo $d$, lu...
por Fedex
Mié 03 Ene, 2024 11:46 am
Foro: Problemas
Tema: Simulacro de Nacional Politecnico 2023 - P6 N3
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Simulacro de Nacional Politecnico 2023 - P6 N3

Sean $x$ e $y$ enteros. Consideramos la sucesión infinita $a_0,a_1,a_2,\ldots$ dada por $a_0=a_1=0$ y$$a_{n+2}=x\cdot a_{n+1}+y\cdot a_n+1$$para todo $n\geq 0$. Demostrar que para todo primo $p$ vale que si $a_p$ y $a_{p+1}$ no son coprimos entonces $a_p$ y $a_{p+1}$ tienen un divisor común mayor qu...
por Fedex
Mié 03 Ene, 2024 11:45 am
Foro: Problemas
Tema: Simulacro de Nacional Politecnico 2023 - P5 N3
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Simulacro de Nacional Politecnico 2023 - P5 N3

Sea $ABC$ un triángulo con $AB<AC$. Se marca el punto $X$ en la recta $AB$, con $A$ entre $B$ y $X$, de modo que $BX=CA$. Se marca el punto $Y$ en el lado $CA$ de modo que $CY=AB$. La recta $XY$ corta a la mediatriz de $BC$ en $P$. Demostrar que $B\widehat AC+B\widehat PC=180^\circ$.