Se encontraron 20 coincidencias

por Fedex
Jue 21 May, 2020 1:12 am
Foro: Teoría de Numeros
Tema: Provincial (Metropolitana) 2000 - Nivel 3 - Problema 1
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Re: Provincial (Metropolitana) 2000 - Nivel 3 - Problema 1

Tomemos $2$ números consecutivos de la sucesión $x$ e $y$ ($y$ viene después de $x$) y escribamos a ambos como: $x = mcd(x;y) . x'$ $y = mcd(x;y) . y'$ En donde $mcd(x';y')=1$ En el siguiente paso escribiríamos $z$ tal que: $z = y + mcd(x;y) = mcd(x;y) . y' + mcd(x;y) = mcd(x;y) (y'+1)$ Ahora, note...
por Fedex
Lun 18 May, 2020 7:04 pm
Foro: Teoría de Numeros
Tema: Provincial (Metropolitana) 1999 - Nivel 2 - Problema 2
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Re: Provincial (Metropolitana) 1999 - Nivel 2 - Problema 2

$\sum_{i=0}^{9}k+i$ | $\sum_{i=0}^{9}(k+i)^2$ Donde: $\sum_{i=0}^{9}k+i = \sum_{i=0}^{9}k + \sum_{i=0}^{9}i = 10k + 45$ Donde: $\sum_{i=0}^{9}(k+i)^2 = \sum_{i=0}^{9}k^2 + 2ki + i^2 = \sum_{i=0}^{9}k^2 + 2k \sum_{i=0}^{9}i + \sum_{i=0}^{9}i^2 = 10k^2 + 90k + 285$ Entonces: $10k + 45 | 10k^2 + 90k +...
por Fedex
Lun 18 May, 2020 12:44 am
Foro: Problemas Archivados de Álgebra
Tema: Nacional 2002 N3 P1
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Re: Nacional 2002 N3 P1

Llamemos $S_n$ a la suma de números en la pantalla una vez apretado el enter $n$ veces. Siendo la configuración: $a_1$, $a_2$, $a_3$ , ... , $a_k$ $S_n = \sum_{i=1}^{k}a_i$ En donde es claro que los extremos: $a_1 = a_k = 1$ Ahora, escribamos a $S_{n+1}$ en función de $S_n$: $S_{n+1} = S_n + \sum_{...
por Fedex
Dom 17 May, 2020 2:54 am
Foro: Teoría de Numeros
Tema: Provincial (Misiones) 1997 - Nivel 3 - Problema 1
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Re: Provincial (Misiones) 1997 - Nivel 3 - Problema 1

$n+19 = 3^x$ $n+97 = 3^y$ $3^x - 19 = 3^y - 97$ $3^x + 78 = 3^y$ $78 = 3^y - 3^x = 3^x ( 3^{y-x} - 1)$ $78 = 3 . 26$ Como es claro que $y > x$ entonces $3^{y-x} - 1 \equiv -1 \: (mod \: 3)$. De esta forma tenemos qué: $3^x = 3$ $x = 1$ $3^{y-x} - 1 = 26$ $3^{y-1} = 27 = 3^3$ $y=4$ Se desprende que ...
por Fedex
Mar 05 May, 2020 1:02 am
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: Nacional 2005- P1 N3
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Re: Nacional 2005- P1 N3

Factoricemos $a^2 - b^2 + c^2 - d^2 = 502$ $(a+b).(a-b) + (c+d).(c-d) = 502$ $(502-(c+d)) . (a-b) + (c+d).(c-d) = 502$ $502.(a-b) - (c+d).(a-b) + (c+d).(c-d) = 502$ $- (c+d).(a-b) + (c+d).(c-d) = 502 - 502.(a-b)$ $(c+d) .((c-d) - (a-b)) = 502.(1-(a-b))$ $(c+d) .(c -d - a+b) = 502.(1-a+b)=R$ Ok, lle...
por Fedex
Jue 30 Abr, 2020 8:14 pm
Foro: Algebra
Tema: Una ecuación interesante, la encontré por ahí.
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Re: Una ecuación interesante, la encontré por ahí.

A veces me paseo por lugares recónditos del foro (? Trabajemos la expresión del enunciado sabiendo que $\left \{ x \right \} \neq 0$: $x+\frac{2014}{x} = \left [ x \right ] + \frac{2014}{\left [ x \right ]}$ $\left \{ x \right \} = 2014 (\frac{1}{[x]} - \frac{1}{x}) = 2014 (\frac{x-[x]}{[x]x}) = 201...
por Fedex
Mié 22 Abr, 2020 1:22 pm
Foro: Problemas
Tema: Maratón de Problemas
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Re: Maratón de Problemas

Problema 357 Hay $2n$ personas sentadas alrededor de una mesa redonda. Emi tiene $2n$ cartas con los números de $1$ a $n$ (cada número aparece exactamente dos veces) y le da una a cada persona, después, Ioaki divide a las personas en $n$ parejas, y para cada una, traza sobre la mesa un segmento que...
por Fedex
Mié 22 Abr, 2020 3:08 am
Foro: Problemas
Tema: Maratón de Problemas
Respuestas: 1291
Vistas: 234766

Re: Maratón de Problemas

Solución (?) 356: Supongamos que existe tal $A$ que cumple esta propiedad: $A = 6066...60... = 6 . (1011...10...) = 2 . 3 . (1011...10...)$ Ahora, notemos lo siguiente, como $A$ es un cuadrado perfecto, todos los exponentes de primos en su factorización deben aparecer elevados a un número par. Cent...
por Fedex
Mar 21 Abr, 2020 9:22 am
Foro: Problemas
Tema: Maratón de Problemas
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Re: Maratón de Problemas

Si está bien, postee problema el que quiera, no se que poner xd Solución 354 Tomemos la sucesión $a$. $a_{n+2}=2a_{n+1}+3a_{n}$ Planteamos la ecuación característica de esta relación de recurrencia lineal homogénea. $x^2 = 2x + 3$ $x^2 - 2x -3 = 0$ Y llegamos a $x_1 = 3$ y $x_2 = -1$ Entonces: $a_n ...
por Fedex
Lun 13 Abr, 2020 3:11 am
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: FOFO de Pascua 2020 - Problema 7
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Re: FOFO de Pascua 2020 - Problema 7

Llamemos $I$ a la lista de Ian. Ahora, por dato del problema, los números en $I$ tiene como máximo $2020$ divisores, lo que implica, que aparecen como máximo $2019$ primos en la factorización de cualquiera de los enteros positivos en $I$. Ahora, elijamos a conveniencia un número entero positivo $q$...