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Zonal 2009 N3 P3.png Defino $M$ como la intersección entre $\overline{BE}$ y $\overline{CD}$, $N$ como la de $\overline{AE}$ y $\overline{CD}$, y $P$ como el punto medio de $\overline{CD}$. Como el área de $\square{ABCD}$ es $6^2=36$, el área de la intersección con $\triangle{ABE}$ será $\frac{3\ti...

OMAlbum #A018.png Como $\triangle{ABC}$ es isósceles, $\widehat{ABP}=30°$. Luego, como $\triangle{APQ}$ es equilátero, sus ángulos miden $60°$. $\widehat{APB}$ es suplementario con $\widehat{APQ}$, entonces mide $120°$. $\widehat{BAP}=180°-\widehat{ABP}-\widehat{APQ}=30°$ así que $\overline{BP}=\ov...

Consideremos los números del $1$ al $1999$. Un $2$ puede estar en cualquiera de los tres dígitos de la derecha, así que tenemos $2\times 10 \times 10=200$ dígitos $2$ para cada posición. Son tres posiciones así que hay $3\times 200=600$ dígitos $2$ hasta el $1999$. Luego, tenemos $24$ dígitos $2$ e...

No sé si anda, pero sería muy lindo que sí lo hiciera. Asumamos $y≤x$ WLOG y separemos en casos: Primero, $y<x$. Tenemos que $w^z=w^x+w^y<2w^x$, así que no puede ser múltiplo de $w^x$ y, por lo tanto, tampoco potencia de $w$ mayor que $w^x$, absurdo. Luego, necesariamente tenemos $x=y$. Veamos este ...

NPCPepe escribió: ↑

Jue 17 Sep, 2020 10:40 pm

Spoiler: mostrar

Si $A$, $B$, $C$ son impares, el $1x1x3$ y el $1x3x3$ no se puede hacer con coditos, pero no importa ya que tienen una dimensión menor a $2$, para hacer un $3x3x3$:

¿Cómo llegaste al ejemplo? ¿Probando?

Hoy me quejé de que no me salen los problemas de Pretorneos, así que subo mi solución de un problema de Pretorneo. Mi segundo nombre es coherencia. 8-) Si $p+n|pn$, como $p+n|p(p+n)=p^2+pn$, se da que $p+n|-p^2$ y $p+n|p^2$. Luego, sea $k$ un entero tal que $k(p+n)=p^2\implies p+n=\frac{p^2}{k}$. Co...

Hay algún ejemplo con esa cantidad? Jmm... Me parece que no. Para cada punto, hay $4$ con los que forma isósceles. Llamo multiconectado a todo punto tal que están trazados estos $4$ puntos sobre la recta. Cada uno de los $4$ puntos, al estar ya marcado uno de los puntos con los que forma isósceles,...

(no anda) $$n+1=5p+5q\implies (p-5)q=5p-1$$ Sea $p≤5$. Entonces, $p-5≤0$ y $(p-5)q$, pero también igual a $5p-1$, que es mayor o igual a $9$, absurdo. Entonces, $p$ y $q$ son mayores que $5$. Luego, sea $p≥10$. $$p^2≥10p\implies p^2>10p-1\implies p^2-5p>5p-1$$ $$(p-5)p>5p-1=(p-5)q\implies p>q$$ Ento...

Bienvenido! Creo que puede faltar algún dato en el enunciado. Llamo $P$ a la intersección de las diagonales de $ABCD$. Como $\hat{APD}=\hat{BPC}$, se da que $\hat{ADB}+3x=5x+2x\implies \hat{ADB}=4x$. Además, $\hat{APB}+\hat{BPC}=\hat{BPC}+2x+5x\implies \hat{APB}=7x$ Todas las demás ecuaciones que pu...

Sean $A$ la recta, $P$ el punto fuera de ella y $A_i$ algún punto sobre la recta. Sea además $A_0$ el pie de la perpendicular a $A$ por $P$. Primero, veamos que para cualquier $A_i$ se pueden definir cuatro puntos que forman triángulos isósceles: Las dos intersecciones de $A$ con la circunferencia ...