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Le agrego un poco de intuición, o no (? Pensemos en un "4 en línea" de 4x10 (4 columnas, 10 filas), con cada nota que salga (2, 3, 4 o 5) le tiramos una ficha a su respectiva columna. Notese que las notas que completan una fila totalmente son las soprendentes . Sabemos que el tablero empie...

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$NS$ corta en $P$ a $BC$, y $NT$ corta en $Q$ a $CA$. Ahora $\widehat{PNQ}+\widehat{PCQ}=90°+90°=180°$, y $CPNQ$ es cíclico; en particular $\widehat{CNQ}=\widehat{CPQ}=\widehat{PNC}=\widehat{PQC}=45°$, y de acá sale que $CP=CQ$. Ahora por T. de la bisectriz en $PCN$ y $CQN$ tenemos esto: $\frac{CN}...

Otra: Sea S la suma de los cuadraditos, llamo a la casilla central e , y a sus adyacentes a , b , c y d . Claramente 4.S=45+3.e+a+b+c+d , y 3.e+a+b+c+d\geq 1.3+2+3+4+5=17 . Entonces tenemos que S\geq\frac{45+17}{4}=15.5 , de esto sale que la suma es por lo menos 16. El ejemplo con 16 es bastante tri...

Sea $P$, $M$ y $Q$ los puntos medios de $AD$, $AC$ y $BC$, respectivamente; tenemos que las bases medias $PM=MQ$ (porque sabemos que $AB=DC$). $\widehat{ACQ}=\alpha$, y $\widehat{MCD}=90°-\alpha$; haciendo angulitos $\widehat{CMQ}=30°-\alpha$ y $\widehat{PMC}=90°+\alpha$, entonces $\widehat{PMQ}=12...

Si trazamos la paralela a $MC$ por $A$ y la unimos con $BC$ el problema muere. Llamamos $P$ a esta intersección. Notemos que $MC$ es base del triángulo $BAP$ ($AM=MB$ por el enunciado), entonces $2MC=AP$. Sabemos por el enunciado que $2MC=AL$, por lo tanto $AL=AP$. En particular el triágulo $ALP$ ti...

Me crees si te digo que con

Spoiler: mostrar

dos

preguntas se puede determinar si es blanco o negro?

La de la izquierda de abajo de todo tiene 4 vecinas rojas y 2 vecinas azules

El enunciado dice que el nro de vecinas blancas y negras es el mismo, pero en tu ejemplo no pasa eso. Por ejemplo la de abajo de todo a la izquierda tenes 4 y 2

Bueno, un poco tarde pero tenía ganas de subir esta solución: El problema nos da esto: 4x+6y=x.y (con x e y enteros positivos) y nos pide todas las posibilidades de x+y . Sea "d" el máximo común divisor entre x e y tenemos que x=d.a y que y=d.b con a y b coprimos. Si supiéramos los valores...