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Truquito para contar menos: En los casos donde el número es $\lt 2000$, dado un número $n$, podemos cambiar todos sus dígitos $2$ por $3$ y viceversa y obtener un nuevo número, llamemoslo $n^*$. Vemos que si $n$ es bueno, entonces $n^*$ es malo y viceversa. Además, es obvio ver qué $(n^*)^* = n$, po...

Sea $x$ la longitud del lado más corto, por lo que $\frac{5}{4}x$ es la longitud del lado más largo. Si $d$ es la distancia de cada borde de la foto al portarretrato, entonces $x=24\text{ cm}+2d$ y $\frac{5}{4}x=32\text{ cm}+2d$. Si a la segunda ecuación le resto la primera, queda $\frac{1}{4}x=32\...

Digamos que $x_{100} \geq x_{99} \geq ... \geq x_2 \geq x_1$. Veamos que Mica siempre elige las parejas $(x_1, x_{100}); (x_2, x_{99}), ..., (x_i, x_{101-i})$, o bien otra configuración en la cual el número escrito es el mismo. Veamos en general por inducción que para cualquier cantidad de números ...

Una bien simple: $A\hat{C}B=180^\circ -105^\circ -45^\circ =30^\circ$ Ahora veamos que $\frac{AM}{AB}=\frac{AB}{AC}$. Para esto, veamos que, por teorema del seno, $\frac{AB}{\operatorname{sen}\left (30^\circ \right )}=\frac{AC}{\operatorname{sen}\left (45^\circ \right )}$. $\operatorname{sen}\left (...

Sean $x_1,x_2,x_3, ..., x_ {99}$ los $99$ números. Como los dígitos de todos los números son los mismos, al calcular la suma de los dígitos de cada número, llamemosla $k$, vemos que $x_n \equiv k (mod. 9)$ para todo $n$. Luego, $x_1+x_2+...+x_99 \equiv 99k \equiv 9 \cdot 11k \equiv 0(mod. 9)$. Luego...

Aplicamos la operación a $X, 16, 32-X$ para todo $X\leq 15$, y queda $32-X, X-\frac{1}{10}, 16+\frac{1}{10}$. Reordenamos eso como $16+\frac{1}{10}, X-\frac{1}{10}, 32-X$ y le aplilcamos la operación, así que tenemos $32-X, 16, X$. Entonces, el $1$ se cambia de lugar con el $31$, el $2$ lo hace con...

Se numeran las monedas en el sentido de las agujas del relój de tal forma que la primer moneda que se da vuelta es la número 1. Además, se entiende que hablar de la moneda $K$ es lo mismo que hablar de la moneda $(2n+1)t+K$ siendo $t$ cualquier entero. Luego, la k-ésima moneda cuyo estado fue cambia...

Sea $O$ el centro de la circunferencia. Luego, $O\widehat{A}B=60^{\circ}$ y $O\widehat{A}P=\frac{180^{\circ}-360^{\circ}/5}{2}=54^{\circ}$ $\Rightarrow B\widehat{A}P=O\widehat{A}B-O\widehat{A}P=6^{\circ}$