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Parecen terribles las expresiones en algunos momentos, pero creo que son bastante lindas las ideas de fondo Sea $P(x)=x^{101}+a_{100}x^{100}+...+a_1x+a_0$, ya que si el coeficiente de $x^{101}$ no es $1$ el polinomio tendría grado menor a $101$. Como $P(0)=1$ tenemos $a_0=1$. Queremos ver que para c...

Sea $X$ en la recta $BC$, con $C$ entre $B$ y $X$, tal que $\angle BAX=60$. Por construcción, $AF$ es bisectriz de $\angle BAX$, por lo que $\angle XAF=30$. Por otro lado, por opuestos por el vértice $\angle EBD= 90$ y sabemos que $\angle BDE=60$ entonces $\angle BED=30$. Tenemos entonces que $\ang...

Este problema es el P2 IMO 1972 y también apareció acá en la Maratón de problemas del foro.

Sea $P(x,y)$ la proposición del enunciado. Supongamos que $f(x)=c$ constante. Reemplazando en la ecuación obtenemos $c=(x+y)c$, tomando $x=y=1$ llegamos a $c=0$ que es solución. Supongamos ahora que $f$ no es constante. $P(0,2): f(0)=(0+2)f(0) \rightarrow f(0)=0$ Sea $c\neq 0$ tal que $f(c) \neq 0$...

Sin pérdida de generalidad $AB=2$. Ubicamos la figura en los ejes con $D$ en el origen. Tenemos $A=(0,2)$, $B=(2,2)$, $C=(2,0)$, $D=(0,0)$ y $E=(2+\sqrt{3},1)$ por ser $BCE$ equilátero. Como $N$ punto medio de $AE$, $N=\left(\frac{0+2+\sqrt{3}}{2},\frac{2+1}{2}\right)=\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2},\fr...

También es el Problema 3 Nivel 1 Provincial OMA 2008

Comentarios previos: El problema es lindo, la solución quedó estéticamente larga y puede ser que las cuentas parezcan engorrosas, pero la idea fue no omitir pasos para que se pueda comprender que sucede entre cada expresión, y aunque en un momento se ponen extensas y pueden parecer sin criterio, hay...

Antes de empezar recordamos que un número es llamado libre de cuadrados si no lo divide ningún cuadrado perfecto salvo el $1$. Notemos que por como está definido $n$, es libre de cuadrados. Además, es claro que si un número es libre de cuadrados, sus divisores también lo son. Sin pérdida de general...