Se encontraron 293 coincidencias

por Turko Arias
Lun 16 Sep, 2019 8:12 pm
Foro: Teoría de Numeros
Tema: Ibero 2019 - P1
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Re: Ibero 2019 - P1

Solución: Sea $n$ una solución al problema. Supongamos que $n\geqslant 100$, luego, tenemos que $n=\overline{x_kx_{k-1}\ldots x_3abc}$ con al menos uno de $x_k,x_{k-1},\ldots ,x_3,a$ distinto de $0$. Entonces $$a^2+b^2+c^2+\sum \limits _{j=3}^kx^2_j=s(n)=n=\overline{x_kx_{k-1}\ldots x_3abc}=100a+10...
por Turko Arias
Dom 15 Sep, 2019 6:44 pm
Foro: Teoría de Numeros
Tema: Ibero 2019 - P1
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Re: Ibero 2019 - P1

El problema pedía ser bruteforceado para que muera "rápido" Sea $u(n)$ la cantidad de cifras de $n$. Es claro que $n=s(n) \leq 9^2u(n)$, de donde $\frac{n}{81} \leq u(n)$, pero lo de la derecha crece de a uno, y lo de la izquierda se va multiplicando por $10$. Haciendo la cuentita vemos que si $n$ t...
por Turko Arias
Jue 12 Sep, 2019 7:47 pm
Foro: Algebra
Tema: Regional 2019 - N2 - P2
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Re: Regional 2019 - N2 - P2

Paso a dejar esto por acá

Y esto por acá

Ya lo sé, soy ese tío con memoria que nadie quiere invitar porque vive tirando datos inútiles :lol: :lol: :lol:
por Turko Arias
Dom 08 Sep, 2019 6:17 pm
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: IMO 2001 - P4
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Re: IMO 2001 - P4

Sean $b_1, b_2, ..., b_{n!}$ el conjunto de todas las permutaciones posibles. Es claro que si existen índices $i, j$ con $ i\neq j$, tales que $S(b_i) \equiv S(b_j) (mod\ n!)$ ganamos. Supongamos que esto no sucede entonces, por lo que los restos de $S(b_1), ..., S(b_{n!})$ módulo $n!$ son, en algú...
por Turko Arias
Sab 07 Sep, 2019 11:09 pm
Foro: Nivel 4
Tema: Número de Oro 2019 - P3
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Re: Número de Oro 2019 - P3

Me pareció medio ambiguo el problema en $a, b, c$ sobre si eran distintas o no, por lo que tiro dos soluciones una que calce exactamente en cada caso, en ambos casos, más que los pasos para la construcción, siempre me pareció más "interesante" la manera de probar que el triángulo que construíamos er...
por Turko Arias
Sab 07 Sep, 2019 9:44 pm
Foro: Nivel 4
Tema: Número de Oro 2019 - P8
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Re: Número de Oro 2019 - P8

Vamos a trabajar con $n \geq 2$ y el caso $1$ después lo vemos. Tenemos $S=\frac{n(n+1)}{2}$, $P=n!$, queremos $S|P$. Notemos que si $n+1=q$ con $q$ primo impar, entonces claramente $q$ es coprimo con todos los enteros menores que el, por lo que es coprimo con cada factor de $n!$, luego $q \nmid P$...
por Turko Arias
Sab 07 Sep, 2019 8:37 pm
Foro: Nivel 4
Tema: Número de Oro 2019 - P5
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Re: Número de Oro 2019 - P5

Un poco menos bazookazo que el mensaje de Gianni
Spoiler: mostrar
$9^{40}+8^{22}=(9^{10})^4+2^{66}=(9^{10})^4+4*(2^{16})^4$ y bueno, aplicando la Factorización de Sophie Germain murió :|
por Turko Arias
Sab 31 Ago, 2019 3:53 am
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: Provincial 2019 - Nivel 1 - Problema 2
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Re: Provincial 2019 - Nivel 1 - Problema 2

Supongamos que Bruno ya reordenó los números. Sea $A$ la tira formada por los primeros $9$ números y sea $B$ la tira formada por los últimos $9$ números. Es claro que en alguna de las dos tiras va a estar el $9$. Tomemos la tira en la que está, y sumemos los nueve números de esa tira... Notamos que...
por Turko Arias
Sab 31 Ago, 2019 3:36 am
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Provincial 2019 - Nivel 1 - Problema 3
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Re: Provincial 2019 - Nivel 1 - Problema 3

Trazamos paralela a $EF$ por $B$ y por $D$, y prolongamos $BF$ y $DE$ y nos termina quedando el rectángulo $BGDH$, con $BG=DH=DE+BF=7$ y $GD=EF=BH=1$. Por Pitágoras en $BGDH$ tenemos que $BD^2=BG^2+GD^2=50$. Por otro lado, sea $l$ el lado del cuadrado, por Pitágoras en $ABC$ tenemos que $l^2+l^2=BD...