OMA Foros

Raro problema para estar en una IMO Claramente lo que más nos molesta del problema es tener exponentes reales... Así que medio que lo primero que nos morimos de ganas de hacer es sacarnos eso de encima. Algo que me pareció prometedor fue tirarle logaritmo a la cosa, porque te queda $log(a+2b+3c+4d)+...

Solución 1: Sea $O$ el circuncentro de $ABP$ y $\alpha= \angle DAP$. Tenemos entonces $\angle ABP=2\alpha$, $\angle APD = 3\alpha$, $\angle ADP=180-4\alpha$. Por ángulo central queda $\angle AOP =4\alpha$. Por ser $O$ circuncentro, $AOP$ isósceles, y por ende $\angle OAP= \angle OPA=90-2\alpha$. No...

La gente del Politécnico odia la geometría

Mal, resolví el problema que asumí que pedían... Igual termina siendo más fuerte el resultado que demostré en el P4 NJ, pero que raro eso de los cuadrados entonces

Es necesario tener en cuenta que los números son cuadrados perfectos? Me llamó la atención lo mismo que a NPCPepe, no encontré ningún error en mi solución pero nunca usé lo de los cuadrados perfectos El problema decía Determinar si es imprescindible que cada uno de los $1000$ enteros escritos sea m...

Usemos inducción fuerte. Para el caso base vemos que $1$, $2$ y $3$ se pueden conseguir. Supongamos que $1,2,...,3n$ pueden ser alcanzados mediante operaciones permitidas, queremos ver que $3n+1$, $3n+2$ y $3n+3$ también se pueden. Tomamos $n$ y tenemos: $n$, $3n+1$. Tomamos $2n+1$ y tenemos $2n+1$...

Sean $x_0, x_1,..., x_{99}$ los números escritos, siempre vamos a trabajar con los subíndices módulo $100$ para mayor comodidad. También definimos $x_0=k^2$. Consideremos cuatro elementos consecutivos, tenemos $x_i+x_{i+1}+x_{i+2} \equiv x_{i+1}+x_{i+2}+x_{i+3}(9)$, por lo que $x_i \equiv x_{i+3}(9...

Como queremos que el mago pueda asegurarlo con certeza, en particular queremos que para cualquier posible combinación de números del público el pueda lograrlo, por lo tanto podríamos hacer de cuenta que el público también puede ver las cartas boca arriba y que juega lo mejor posible. Digamos que el...

La respuesta para $2020$: Voy a poner una secuencia de números, no se si es óptima o que onda, pero funciona y una solución es una solución :D $1 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 7 \rightarrow 22 \rightarrow 11 \rightarrow 34 \rightarrow 17 \rightarrow 52 \rightarrow 26 \rightarrow 79 \\ \rig...

Alrededor de una circunferencia se han marcado $100$ puntos y a cada uno de ellos se le ha asignado el cuadrado de un número entero. Se sabe que la suma de los números asignados a $3$ puntos consecutivos es siempre múltiplo de $9$. Determinar si es imprescindible que cada uno de los $100$ enteros es...