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Solución hermosa, pero solución al fin. $\frac{a^2}{2ab^2-b^3+1}=c \Leftrightarrow a^2=c(2ab^2-b^3+1)=2acb^2-b^3c+c \Leftrightarrow a^2-2acb^2+b^3c-c=a^2-a(2cb^2)+(b^3c-c)=0 \\$ Y ahora?? Y si, como dice un famoso refrán en mi pueblo "Si la montaña no va a Mahoma, Mahoma hace una cuadrática en a y c...

Supongamos que $n|2010$. Luego pintamos las primeras $\frac{2010}{n}$ casillas del primer color, las segundas $\frac{2010}{n}$ casillas del segundo color, y así hasta pintar las últimas $\frac{2010}{n}$ casillas del $n$-ésimo color, y ubiquemos las monedas en la casilla $1, \frac{2010}{n}+1, 2 \tim...

Lindo lindo problema :D :D :D Pasemos el problema a algo más concreto (tip copado que sirve en banda de problemas, leer antes de leer la solución) Vamos a representar el problema con un lindo dibujito. Supongamos que tenemos $n$ personas en el torneo que juegan todos contra todos (con $n$ impar), y ...

Consideremos la sucesión $c_i=a_i+b_i$. Tenemos que $a_1+...+a_n=1$ y que $c_1+...+c_n=2$. Por la Desigualdad de Cauchy Fraccionario tenemos: $\frac{a_1^2}{c_1}+...+\frac{a_n^2}{c_n} \geq \frac{(a_1+...+a_n)^2}{c_1+...+c_n}=\frac{1}{2}$. Por último, es fácil chequear que si $a_i=\frac{1}{n}=b_i$ va...

Una fiesta de solución :D :D :D Partimos el tablero en cuatro tableritos de $2 \times 7$ y uno de $1 \times 7$. Tablero n2.jpg Si en cada tablerito la cantidad de fichas pintadas es a lo sumo $7$, entonces la cantidad total de casillas pintadas es a lo sumo $28$, por lo que tiene que haber algún tab...

Mirá por ejemplo

Spoiler: mostrar

Toma estos dos factores consecutvos $5!6!=5!*(1*2*3*4*5)*6=5!5!6=(5!)^26$
Haces lo mismo con cada parejita de consecutivos y estás

Hola! Como va? Si no leíste muchas cosas, siempre una buena forma de empezar es ojear los seminarios de apoyo de la OMA . El envío dos que trata sobre congruencias, enteros, divisibilidad y esas cosas es el pan de cada día y te da una base para encarar una amplia oferta de problemas de teoría de núm...

Miren si nadie le respondía su duda y terminaba no sacando oro en la IMO por culpa de todos nosotros?

Solo porque quiero alcanzar a Candioti en el ranking de posteos :D :D :D WLOG $AB>AC$. Tenemos $AO=BO=CO$ por ser cincuncentro. Definimos $l$ mediatriz $AD$, $P=AO \cap l$, $\angle CAD= \angle DAB= \alpha$. $\angle PAD= \beta= \angle PDA$ ya que $P$ está en la mediatriz, entonces $\angle OAB= \angle...

Un clásico El problema lo reescribimos como "Probar que todo entero positivo puede ser escrito como la suma de uno o más enteros positivos de la pinta $2^x3^y$ tales que no haya un término que divida a otro"... Ahora si, manos a la obra: Vamos a tirar una inducción fuerte para el problema... ¿Qué es...