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Me resulta curioso que lo llame trapecio, tenía entendido que tienen exáctamente un par de lados paralelos, pero bueno, es simpático el problema :D Sin pérdida de generalidad asumamos que los lados paralelos son $AB$ y $CD$. Vamos a representar $(ABC)$ al área del triángulo $ABC$. Sabemos que el áre...

Estaba debatiendo conmigo mismo si era más fea esta solución o una que se me ocurrió con elipses... Creo que esta es más fea así que voy a subirla :lol: Sea $S=\frac{a+b+c}{2}$, por Herón, queremos ver que $$\sqrt{s \times (s-a) \times (s-b) \times (s-c)} < \sqrt{s \times (s-\frac{a+b}{2}) \times (s...

Otra más, aún peor que la de Gianni, para no dejarlo solo publicando cosas horribles Consideremos los complejos $z_1=a, z_2=bi, z_3=z_2-z_1$, con $a, b \in \mathbb{R}_{> 0}$. Es claro que los tres vectores forman un triángulo rectángulo, tenemos entonces que $|z_3|^2=|z_2-z_1|^2=(z_2-z_1)\overline{(...

Dejo oooootra solución más que se me ocurrió, es medio flashera, pero me gustó La solución usa Rotohomotecias $\angle ABC= \angle EAC$ por ángulo semiinscripto, $\angle EDC= \angle ABC$ por ser $AB$ y $DE$ paralelas, luego $\angle EDC= \angle EAC$ y $ADCE$ resulta cíclico. $\angle BAC = \angle BFC$ ...

Está va dedicada a los que estamos convencidos de que el 1 sale sólo con angulitos Está otra solución también va dedicada a los que están convencidos de que el 1 sale sólo con angulitos Era mentira $\angle EDC= \angle ABC$ por ser $AB$ y $DE$ paralelas. $\angle BAC = \angle BFC$ por arco capaz y $\...

Sea $\Gamma_1$ la circunscripta de $BDEF$. $\angle ABC= \angle EAC$ por ángulo semiinscripto, $\angle EDC= \angle ABC$ por ser $AB$ y $DE$ paralelas, luego $\angle EDC= \angle EAC$ y $ADCE$ resulta cíclico. Sea $\Gamma_2$ la circunscripta de $ADCE$. Nos queda $AC$ eje radical de $\Gamma$ y $\Gamma_...

Sea $\mathbb{Z}$ el conjunto de todos los enteros. Hallar todos los polinomios $P(x)$ con coeficientes enteros que satisfacen la siguiente propiedad: Para cada sucesión infinita $a_1, a_2,...$ de enteros en la que cada entero de $\mathbb{Z}$ aparece exáctamente una vez, existen subíndices $i<j$ y un...

Sea $n\geq 3$ un entero fijo. El número $1$ se escribe $n$ veces en el pizarrón. Debajo del pizarrón hay dos baldes que inicialmente están vacíos. Una movida consiste en borrar dos números del pizarrón, $a$ y $b$, reemplazarlos por los números $1$ y $a+b$, y a continuación agregar una piedra al prim...

Lindo problema Sea $l$ la longitud del lado del polígono. Numeramos los lados de $1$ a $N$ en sentido horario. Para cada lado $i$, sea $x_i$ la longitud del pedacito que obtenemos al extender el lado para la izquierda y $y_i$ la longitud al extender para la derecha. Por potencia de un punto tenemos ...

No quiero arruinar la emoción :o :o :o Pero técnicamente es a lo sumo el Problema 359 , porque: Problema 101: Hallar todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que $$f(x+y)+y\leq f(f(f(x)))$$ vale para todos $x,y\in\mathbb{R}$. Y Problema 208 Encontrar todas las funciones $f:\mathbb{R} \t...