Se encontraron 296 coincidencias

por Turko Arias
Jue 17 Oct, 2019 3:19 am
Foro: Problemas
Tema: FOFO 9 años Problema 2
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Re: FOFO 9 años Problema 2

Solo porque quiero alcanzar a Candioti en el ranking de posteos :D :D :D WLOG $AB>AC$. Tenemos $AO=BO=CO$ por ser cincuncentro. Definimos $l$ mediatriz $AD$, $P=AO \cap l$, $\angle CAD= \angle DAB= \alpha$. $\angle PAD= \beta= \angle PDA$ ya que $P$ está en la mediatriz, entonces $\angle OAB= \angle...
por Turko Arias
Mar 15 Oct, 2019 12:58 pm
Foro: Problemas
Tema: FOFO 9 años Problema 5
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Re: FOFO 9 años Problema 5

Un clásico El problema lo reescribimos como "Probar que todo entero positivo puede ser escrito como la suma de uno o más enteros positivos de la pinta $2^x3^y$ tales que no haya un término que divida a otro"... Ahora si, manos a la obra: Vamos a tirar una inducción fuerte para el problema... ¿Qué es...
por Turko Arias
Mar 01 Oct, 2019 1:35 am
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: Nacional 2004 N3 P1
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Re: Nacional 2004 N3 P1

Sea $\{a\}=a-[a]$ la mantiza de $a$. Es claro que $\{ n+i+\sqrt{n+i}\}=\{\sqrt{n+i} \}$, por lo que pedir que $[n+\sqrt{n}], [n+1+\sqrt{n+1}], ..., [n+2003+\sqrt{n+2003}]$ sean $2004$ enteros consecutivos, no es otra cosa que pedir que los siguientes $2004$ números lo sean: $(n+\sqrt{n}-\{ n+\sqrt{...
por Turko Arias
Lun 16 Sep, 2019 8:12 pm
Foro: Teoría de Numeros
Tema: Ibero 2019 - P1
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Re: Ibero 2019 - P1

Solución: Sea $n$ una solución al problema. Supongamos que $n\geqslant 100$, luego, tenemos que $n=\overline{x_kx_{k-1}\ldots x_3abc}$ con al menos uno de $x_k,x_{k-1},\ldots ,x_3,a$ distinto de $0$. Entonces $$a^2+b^2+c^2+\sum \limits _{j=3}^kx^2_j=s(n)=n=\overline{x_kx_{k-1}\ldots x_3abc}=100a+10...
por Turko Arias
Dom 15 Sep, 2019 6:44 pm
Foro: Teoría de Numeros
Tema: Ibero 2019 - P1
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Re: Ibero 2019 - P1

El problema pedía ser bruteforceado para que muera "rápido" Sea $u(n)$ la cantidad de cifras de $n$. Es claro que $n=s(n) \leq 9^2u(n)$, de donde $\frac{n}{81} \leq u(n)$, pero lo de la derecha crece de a uno, y lo de la izquierda se va multiplicando por $10$. Haciendo la cuentita vemos que si $n$ t...
por Turko Arias
Jue 12 Sep, 2019 7:47 pm
Foro: Algebra
Tema: Regional 2019 - N2 - P2
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Re: Regional 2019 - N2 - P2

Paso a dejar esto por acá

Y esto por acá

Ya lo sé, soy ese tío con memoria que nadie quiere invitar porque vive tirando datos inútiles :lol: :lol: :lol:
por Turko Arias
Dom 08 Sep, 2019 6:17 pm
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: IMO 2001 - P4
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Re: IMO 2001 - P4

Sean $b_1, b_2, ..., b_{n!}$ el conjunto de todas las permutaciones posibles. Es claro que si existen índices $i, j$ con $ i\neq j$, tales que $S(b_i) \equiv S(b_j) (mod\ n!)$ ganamos. Supongamos que esto no sucede entonces, por lo que los restos de $S(b_1), ..., S(b_{n!})$ módulo $n!$ son, en algú...
por Turko Arias
Sab 07 Sep, 2019 11:09 pm
Foro: Problemas Archivados de Nivel 4
Tema: Número de Oro 2019 - P3
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Re: Número de Oro 2019 - P3

Me pareció medio ambiguo el problema en $a, b, c$ sobre si eran distintas o no, por lo que tiro dos soluciones una que calce exactamente en cada caso, en ambos casos, más que los pasos para la construcción, siempre me pareció más "interesante" la manera de probar que el triángulo que construíamos er...
por Turko Arias
Sab 07 Sep, 2019 9:44 pm
Foro: Problemas Archivados de Nivel 4
Tema: Número de Oro 2019 - P8
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Re: Número de Oro 2019 - P8

Vamos a trabajar con $n \geq 2$ y el caso $1$ después lo vemos. Tenemos $S=\frac{n(n+1)}{2}$, $P=n!$, queremos $S|P$. Notemos que si $n+1=q$ con $q$ primo impar, entonces claramente $q$ es coprimo con todos los enteros menores que el, por lo que es coprimo con cada factor de $n!$, luego $q \nmid P$...