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Solo porque quiero alcanzar a Candioti en el ranking de posteos :D :D :D WLOG $AB>AC$. Tenemos $AO=BO=CO$ por ser cincuncentro. Definimos $l$ mediatriz $AD$, $P=AO \cap l$, $\angle CAD= \angle DAB= \alpha$. $\angle PAD= \beta= \angle PDA$ ya que $P$ está en la mediatriz, entonces $\angle OAB= \angle...

Un clásico El problema lo reescribimos como "Probar que todo entero positivo puede ser escrito como la suma de uno o más enteros positivos de la pinta $2^x3^y$ tales que no haya un término que divida a otro"... Ahora si, manos a la obra: Vamos a tirar una inducción fuerte para el problema... ¿Qué es...

Sea $\{a\}=a-[a]$ la mantiza de $a$. Es claro que $\{ n+i+\sqrt{n+i}\}=\{\sqrt{n+i} \}$, por lo que pedir que $[n+\sqrt{n}], [n+1+\sqrt{n+1}], ..., [n+2003+\sqrt{n+2003}]$ sean $2004$ enteros consecutivos, no es otra cosa que pedir que los siguientes $2004$ números lo sean: $(n+\sqrt{n}-\{ n+\sqrt{...

Solución: Sea $n$ una solución al problema. Supongamos que $n\geqslant 100$, luego, tenemos que $n=\overline{x_kx_{k-1}\ldots x_3abc}$ con al menos uno de $x_k,x_{k-1},\ldots ,x_3,a$ distinto de $0$. Entonces $$a^2+b^2+c^2+\sum \limits _{j=3}^kx^2_j=s(n)=n=\overline{x_kx_{k-1}\ldots x_3abc}=100a+10...

El problema pedía ser bruteforceado para que muera "rápido" Sea $u(n)$ la cantidad de cifras de $n$. Es claro que $n=s(n) \leq 9^2u(n)$, de donde $\frac{n}{81} \leq u(n)$, pero lo de la derecha crece de a uno, y lo de la izquierda se va multiplicando por $10$. Haciendo la cuentita vemos que si $n$ t...

Paso a dejar esto por acá

Y esto por acá

Ya lo sé, soy ese tío con memoria que nadie quiere invitar porque vive tirando datos inútiles

Sean $b_1, b_2, ..., b_{n!}$ el conjunto de todas las permutaciones posibles. Es claro que si existen índices $i, j$ con $ i\neq j$, tales que $S(b_i) \equiv S(b_j) (mod\ n!)$ ganamos. Supongamos que esto no sucede entonces, por lo que los restos de $S(b_1), ..., S(b_{n!})$ módulo $n!$ son, en algú...

Me pareció medio ambiguo el problema en $a, b, c$ sobre si eran distintas o no, por lo que tiro dos soluciones una que calce exactamente en cada caso, en ambos casos, más que los pasos para la construcción, siempre me pareció más "interesante" la manera de probar que el triángulo que construíamos er...

Vamos a trabajar con $n \geq 2$ y el caso $1$ después lo vemos. Tenemos $S=\frac{n(n+1)}{2}$, $P=n!$, queremos $S|P$. Notemos que si $n+1=q$ con $q$ primo impar, entonces claramente $q$ es coprimo con todos los enteros menores que el, por lo que es coprimo con cada factor de $n!$, luego $q \nmid P$...