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Aquí publicaremos la solución oficial.

Sean $a,b,c$ enteros mayores o iguales que $-1$, uno de los cuales no es $0$, tales que$$a+2b+4c=0.$$Demostrar que $a+b+c>0$.

Solución oficial: Ideas para empezar el problema. Para comenzar veremos qué es lo que hace la calculadora. Su operación siempre es sumar el último dígito del número anterior, así que podemos hacer una lista con los dígitos que suma en los primeros movimientos: $1, 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8$ A...

ArmandoValenzuela escribió: ↑Vie 26 Ene, 2024 2:25 pm Duda de la pregunta 4, hay que encontrar la cantidad de multiplos de 3 dentro dentro de los 2024 toques que hicimos??

En el 4b sí.

Martu tiene una calculadora con una pantalla y un único botón. Al principio, la pantalla muestra el número $1$. Al apretar el botón, el número de la pantalla se reemplaza por la suma entre ese número y el dígito de sus unidades. Por ejemplo, luego de apretar el botón varias veces, la pantalla mostra...

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Sea $\angle ADB=\angle ABD =\alpha$ (la igualdad es porque $BA=AD$), por lo que $\angle CBD=\angle CDB= 90^{\circ}-\alpha$ (como $D$ es el simétrico de $B$ respecto la recta $AD$ sabemos que $BD$ es perpendicular a $AC$),y por ende $\angle BCA=\angle ACD= \alpha$ y como $\angle CFP=\angle CGP=90^{\...

Trazamos la paralela a $BC$ que pasa por $D$ y a su punto de intersección con $AC$ lo llamamos $M$. Prolongamos las rectas $AC$ y $DE$ y a su punto de intersección lo llamamos $Z$. Sea $\angle MCE=\angle DMA=\beta$ y por ende $\angle ECZ= \angle DMZ=180^{\circ}-\beta$. Sea $\angle CEZ= \angle DEB= ...

Trazamos las alturas del triángulo $AMN$ correspondientes a los vértices $N$ y $A$, y sean $T$ y $Q$ los píes de dichas alturas respectivamente. Sea $\angle BAM$ = $\alpha$ y $\angle MAQ$ = $\beta$. Como $\angle AMB$ = $90^{\circ}$ por enunciado, sabemos que $\angle ABM$ = $90^{\circ}$ - $\alpha$= ...

Vamos a separar el problema en tres casos: Si $x,y,z$ tienen los tres distintos restos en la división por $3$ ninguno de los números que nos quedan entre los paréntesis es múltiplo de tres por lo que el producto no lo va a ser, pero como $0+1+2= 3$ la suma si nos da múltiplo de $3$ por lo que no cu...