Se encontraron 39 coincidencias

por joa.fernandez
Dom 24 May, 2020 2:20 am
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Provincial 2017 N3 P3
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Re: Provincial 2017 N3 P3

Antes de dar la solución, vale destacar que este provincial fue mi primer viaje de OMA (y también primer año en el que participaba, era un pequeño Nivel 1). Recuerdo que cuando Ian en la premiación contó dos soluciones distintas, yo había quedado aterrado y no había captado una sola idea. Hoy puedo ...
por joa.fernandez
Jue 21 May, 2020 10:06 am
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: Iberoamericana 1985 P1
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Re: Iberoamericana 1985 P1

Esto es en compensación de mi fracasado mensaje anterior... Primero, es fácil ver que $ab + bc + ca = 183$. Consideremos el polinomio $p(x)$ con coeficientes enteros tal que $p(x) = (x-a)(x-b)(x-c)$. Luego: $p(x) = x^3 - (a+b+c)x^2 + (ab + bc + ca)x - abc$ y reemplazando la información que nos dan: ...
por joa.fernandez
Mié 20 May, 2020 10:16 pm
Foro: Problemas Archivados de Álgebra
Tema: Iberoamericana 1985 P5
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Re: Iberoamericana 1985 P5

Ojo que muerde $f(1985) = f(397\cdot 5) = f(397) + f(5)$ por i. $0=f(10)=f(2) + f(5)$ por i. y iii. , y como son enteros no negativos $f(2)=f(5)=0$ Además, $f(397)+f(9)= f(397\cdot 9)=f(3573)=0$ por ii. , y como son enteros no negativos $f(397)=f(9)=0$ Entonces, $f(1985) = f(397) + f(5) = 0$. $\blac...
por joa.fernandez
Mié 20 May, 2020 9:50 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Iberoamericana 1985 P6
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Iberoamericana 1985 P6

Dado un triángulo $ABC$, se consideran los puntos $D$, $E$ y $F$ de las rectas $BC$, $AC$ y $AB$ respectivamente. Si las rectas $AD$, $BE$ y $CF$ pasan todas por el centro $O$ de la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$, cuyo radio es $R$, demuestre que:$$\frac{1}{AD}+\frac{1}{BE}+\frac{1}{...
por joa.fernandez
Mié 20 May, 2020 9:47 pm
Foro: Problemas Archivados de Álgebra
Tema: Iberoamericana 1985 P5
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Iberoamericana 1985 P5

A cada entero positivo $n$ se asigna un entero no negativo $f(n)$ de tal manera que se satisfagan las siguientes condiciones:
  1. $f(rs)=f(r)+f(s)$
  2. $f(n)=0$, siempre que la cifra en las unidades $n$ sea $3$.
  3. $f(10)$ es cero.
Halle $f(1985)$. Justifique su respuesta.
por joa.fernandez
Mié 20 May, 2020 9:31 pm
Foro: Problemas Archivados de Álgebra
Tema: Iberoamericana 1985 P4
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Iberoamericana 1985 P4

Si: $x\neq1$, $y\neq1$, $x\neq y$,

y: $\dfrac{yz-x^2}{1-x}=\dfrac{zx-y^2}{1-y}$.

Demuestre que ambas fracciones son iguales a $x+y+z$.
por joa.fernandez
Mié 20 May, 2020 9:26 pm
Foro: Problemas Archivados de Álgebra
Tema: Iberoamericana 1985 P3
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Iberoamericana 1985 P3

Halle las raíces $r_1$, $r_2$, $r_3$ y $r_4$ de la ecuación:$$4x^4-ax^3+bx^2-cx+5=0.$$Sabiendo que son reales, positivos y que:$$\frac{r_1}{2}+\frac{r_2}{4}+\frac{r_3}{5}+\frac{r_4}{8}=1.$$
por joa.fernandez
Mié 20 May, 2020 9:22 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Iberoamericana 1985 P2
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Iberoamericana 1985 P2

Sea $P$ un punto interior del triángulo equilátero $ABC$ tal que:$$PA=5,\quad PB=7\quad \text y\quad PC=8$$Halle la longitud de un lado del triángulo $ABC$.
por joa.fernandez
Mié 20 May, 2020 9:20 pm
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: Iberoamericana 1985 P1
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Iberoamericana 1985 P1

Halle todas las ternas de enteros $(a,b,c)$ tales que:$$\begin{align*}a+b+c & =24 \\
a^2+b^2+c^2 & =210 \\
abc & =440.
\end{align*}$$
por joa.fernandez
Mar 19 May, 2020 8:47 pm
Foro: Geometría
Tema: Maratón de Problemas de Geometría
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Re: Maratón de Problemas de Geometría

A pedido de Fran5 , dejo este :D Problema 151: Sea $O$ el circuncentro y $H$ el ortocentro del $\triangle ABC$ acutángulo tal que $BC>CA$. También sea $D$ el pie de la altura del $\triangle ABC$ desde $C$. La perpendicular a $OD$ que pasa por $D$ intersecta a $AC$ en $P$. Demostrar que $\widehat{DHP...