Se encontraron 12 coincidencias

por Rafaga
Mar 12 Feb, 2019 8:13 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Selectivo IMO, Perú 2019. Problema 3
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Selectivo IMO, Perú 2019. Problema 3

Sean $I, O$ y $\Gamma$ respectivamente el incentro, circuncentro y circuncirculo del triángulo $ABC.$ La recta $AI$ corta a $\Gamma$ en el punto $M (M\not=A)$. La circunferencia $\omega$ es tangente interiormente a $\Gamma$ en el punto $T$, y es tangente a las rectas $AB$ y $AC$. Las rectas tangente...
por Rafaga
Mar 12 Feb, 2019 6:49 pm
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: Selectivo IMO, Perú 2019. Problema 2
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Selectivo IMO, Perú 2019. Problema 2

Una potencia es un entero positivo de la forma $a^k$, donde $a$ y $k$ son enteros positivos con $k\geq2$. Sea $S$ el conjunto de enteros positivos que no pueden expresarse como una suma de dos potencias(por ejemplo, los números $4, 7, 15$ y $27$ están en $S$). Determine si el conjunto $S$ tiene una ...
por Rafaga
Mar 12 Feb, 2019 6:45 pm
Foro: Problemas Archivados de Álgebra
Tema: Selectivo IMO 2019, Perú. Problema 1
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Selectivo IMO 2019, Perú. Problema 1

En cada casilla de un tablero de $2$ filas y $2019$ columnas se escribe un número real de modo que: No hay dos números escritos en la primera fila que sean iguales. Los números escritos en la segunda fila son los mismos(pero en algún otro orden) que los números escritos en la primera fila. Los dos n...
por Rafaga
Lun 12 Nov, 2018 12:35 pm
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: ONEM 2018 Cuarta Fase Nivel 2 (Problema 4)
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ONEM 2018 Cuarta Fase Nivel 2 (Problema 4)

Determine el menor número entero $k\geq3$ que tiene la siguiente propiedad: Si $a, b, c, d, n$ son cualesquiera enteros positivos tales que $a+b+c+d$ y $a^2+b^2+c^2+d^2$ son múltiplos de $n$, entonces $a^k+b^k+c^k+d^k$ también es múltiplo de $n$.
por Rafaga
Lun 12 Nov, 2018 12:31 pm
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: ONEM 2018 Cuarta Fase Nivel 2 (Problema 3)
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ONEM 2018 Cuarta Fase Nivel 2 (Problema 3)

Sean $a$ y $b$ números reales que pertenecen al intervalo cerrado $[2,3]$. Determine el mayor valor posible de la expresión$$\frac{a}{1+b}+\frac{b}{1+a}$$y encuentre todas las parejas $(a, b)$ para las cuales se consigue ese mayor valor.
por Rafaga
Lun 12 Nov, 2018 12:18 pm
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: ONEM 2018 Cuarta Fase Nivel 2 (Problema 2)
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ONEM 2018 Cuarta Fase Nivel 2 (Problema 2)

Se tiene un tablero de $5\times5$ que al inicio tiene escrito el número $0$ en cada casilla. Hay dos operaciones disponibles: Escoger dos casillas que estén en las misma fila y sumar $1$ a los números de esas casillas. Escoger dos casillas que estén en las misma columna y sumar $2$ a los números de ...
por Rafaga
Lun 12 Nov, 2018 10:09 am
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: ONEM 2018 Cuarta Fase Nivel 2 (Problema 1)
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ONEM 2018 Cuarta Fase Nivel 2 (Problema 1)

Sea $ABC$ un triángulo y sean $D, E$ y $F$ puntos de los lados $BC, CA$ y $AB$, respectivamente, tales que $DE$ es perpendicular a $AC$ y $\angle BAC= 2\angle BFD$. Si $AE=EC+BD$ y $CD=DB+AF$, pruebe que el triángulo $ABC$ es equilátero.
por Rafaga
Lun 12 Nov, 2018 9:56 am
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: ONEM 2018 Cuarta Fase Nivel 1 (Problema 4)
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ONEM 2018 Cuarta Fase Nivel 1 (Problema 4)

José ubicó $n$ dominós en un tablero $12\times 12$ de tal forma que cada dominó cubre exactamente dos casillas que comparten un lado(los dominós no se superponen). Él se dio cuenta que en la parte del tablero que quedó sin cubrir, es imposible ubicar una ficha de $2\times2$. Determine el menor valor...
por Rafaga
Lun 12 Nov, 2018 9:51 am
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: ONEM 2018 Cuarta Fase Nivel 1 (Problema 3)
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ONEM 2018 Cuarta Fase Nivel 1 (Problema 3)

Un entero positivo es llamado favorable si tiene tres divisores positivos distintos cuyo producto es un número de la forma $k^4$, donde $k$ es un entero positivo. Por ejemplo, $144$ es favorable porque tiene tres divisores positivos distintos: $144, 9$ y $1$, cuyo producto es $6^4$. Sea $C$ el conju...
por Rafaga
Sab 30 Dic, 2017 10:49 pm
Foro: Problemas Archivados de Álgebra
Tema: ONEM 2017 - Fase 2 - Nivel 2 - P9
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Re: ONEM 2017 - Fase 2 - Nivel 2 - P9

Para $a=3, b=1, c=2$ tenemos que $\frac{3}{4}\geq M$. Probaremos que $M=\frac{3}{4}$ cumple. Para $M=\frac{3}{4}$ la desigualdad es: $a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca+\frac{3}{4} (a-b)^2$ que se cumple si y solo si: $4(a^2+b^2+c^2 )\geq 4(ab+bc+ca)+3(a-b)^2$ $\leftrightarrow$ $a^2+b^2+4c^2\geq 4bc+4ca-2ab$...