Se encontraron 233 coincidencias

por Sandy
Dom 18 Abr, 2021 12:02 am
Foro: Teoría de Numeros
Tema: Selectivo de IMO 2021 - Problema 5
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Re: Selectivo de IMO 2021 - Problema 5

Lema: Si $24\mid n+1$, entonces la suma de los divisores positivos de $n$ es divisible por $24$. Sean $1=d_1<...<d_k=n$ los divisores de $n$. Notar que $d_id_{k+1-i}\equiv -1\pmod{24}$ de donde ese producto es congruente a $-1$ módulo $3$ y $8$. Notar que si (como $d_i$ es coprimo con $3$) $d_i\equ...
por Sandy
Sab 17 Abr, 2021 11:40 pm
Foro: Teoría de Numeros
Tema: Selectivo de IMO 2021 - Problema 4
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Re: Selectivo de IMO 2021 - Problema 4

El número del medio de la $X$ aparece en las dos diagonales, así que lo único que nos importa son las "patas" de la $X$. Vamos a separar en casos según el valor del número del medio, para eso observemos que tiene que ser impar, ya que si los números son\begin{matrix}a & & & & b \\ & c & & d & \\ & ...
por Sandy
Vie 16 Abr, 2021 7:12 pm
Foro: Algebra
Tema: Selectivo de IMO 2021 - Problema 6
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Re: Selectivo de IMO 2021 - Problema 6

Solución: Supongamos que $f$ no es constante, y luego nos encargamos de eso. Luego existe $a\in \mathbb{R}$ con $f(a)\neq 0$. Tomando $x=\frac{b}{f(a)}, y=a$, queda $f\left(\frac{ab}{f(y)}+f\left( \frac{b}{f(y)}\right)\right)=b$, luego $f$ es sobreyectiva. Tomando $y=0$, queda $f\left(f(x)\right)=x...
por Sandy
Mié 14 Abr, 2021 1:51 pm
Foro: Geometría
Tema: EGMO 2021 - P4
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Re: EGMO 2021 - P4

Bueno se subió dos veces mi solución así que aprovecho este post (hasta que lo borre algún moderador) para decir que me encantó este problema. -------------------------------------------------------------------------------------------------- El equipo administrador del FORO ha decidido que este post...
por Sandy
Mié 14 Abr, 2021 1:50 pm
Foro: Geometría
Tema: EGMO 2021 - P4
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Re: EGMO 2021 - P4

Solución: Figura P4 EGMO.jpeg Parte $1$: $AEIF$ es cíclico $C\widehat{D}E=180^{\circ}-E\widehat{D}B=180^{\circ}-\left( 90^{\circ}-\frac{A\widehat{B}C}{2}\right)=180^{\circ}-\frac{180^{\circ}-A\widehat{B}C}{2}=180^{\circ}-\frac{B\widehat{A}C+B\widehat{C}A}{2}=180^{\circ}-I\widehat{A}C-I\widehat{C}A=...
por Sandy
Mar 13 Abr, 2021 1:33 pm
Foro: Teoría de Numeros
Tema: EGMO 2021 - P6
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EGMO 2021 - P6

Determine si existe un entero no negativo $a$ para el cual la ecuación$$\left \lfloor \frac{m}{1}\right \rfloor +\left \lfloor \frac{m}{2}\right \rfloor +\left \lfloor \frac{m}{3}\right \rfloor +\cdots +\left \lfloor \frac{m}{m}\right \rfloor =n^2+a$$tiene más de un millón de soluciones diferentes $...
por Sandy
Mar 13 Abr, 2021 1:28 pm
Foro: Combinatoria
Tema: EGMO 2021 - P5
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EGMO 2021 - P5

Un plano tiene un punto especial $O$ llamado origen. Sea $P$ un conjunto de $2021$ puntos en el plano que cumple las siguientes dos condiciones: (i) no hay tres puntos de $P$ sobre una misma recta, (ii) no hay dos puntos de $P$ sobre una misma recta que pasa por el origen. Se dice que un triángulo c...
por Sandy
Mar 13 Abr, 2021 1:24 pm
Foro: Geometría
Tema: EGMO 2021 - P4
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EGMO 2021 - P4

Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$ y sea $D$ un punto arbitrario en el lado $BC$. La recta que pasa por $D$ y es perpendicular a $BI$ interseca a $CI$ en el punto $E$. La recta que pasa por $D$ y es perpendicular a $CI$ interseca a $BI$ en el punto $F$. Demuestre que la reflexión de $A$ por la ...
por Sandy
Mar 13 Abr, 2021 1:19 pm
Foro: Geometría
Tema: EGMO 2021 - P3
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EGMO 2021 - P3

Sea $ABC$ un triángulo con ángulo obtuso en $A$. Sean $E$ y $F$ las intersecciones de la bisectriz exterior del ángulo $\angle BAC$ con las alturas del triángulo $ABC$ desde $B$ y $C$, respectivamente. Sean $M$ y $N$ puntos en los segmentos $EC$ y $FB$, respectivamente, tales que $\angle EMA=\angle ...
por Sandy
Mar 13 Abr, 2021 1:14 pm
Foro: Algebra
Tema: EGMO 2021 - P2
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EGMO 2021 - P2

Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$ tales que la ecuación$$f(xf(x)+y)=f(y)+x^2$$se cumple para todos los números racionales $x$ y $y$.