OMA Foros

Gianni De Rico escribió: ↑

Lun 16 Sep, 2019 9:14 am

Breve comentario técnico a la solución de arriba.
El polinomio nulo $P(x)=0$ no tiene grado, por lo que no cumple con los requisitos del problema.

Igual ya asumí que $P(x)=k$ no andaba porque dice que tiene grado mayor o igual que $1$

Caso 1: $P(0)=0$ y $n>1$ $P(x)=x\times \prod_{k=1}^{n-1} (x-P(k)) \Rightarrow P(1)=1\times \prod_{k=1}^{n-1} (1-P(k))$ Luego $\frac{P(1)}{1-P(1)}=\prod_{k=2}^{n-1} (1-P(k)) \in \mathbb{Z}$ Pero esto implica una de las siguientes $4$ cosas: a) $P(1)=0$ b) $1-P(1)=1$ c) $1-P(1)=-1$ d) $1-P(1)=0$ (est...

Veamos que, si $p$ es la cantidad de cifras de $n$, $9^2\times p \geq 10^p-1$. Como obviamente la función de la izquierda crece más lento que la de la derecha, y ambas son crecientes en los positivos (créanme, no tengo ganas de ponerme a derivar ahora), una vez que la de la derecha supera a la de l...

Solución horrenda pero no se me ocurrió nada más lindo Es clave ver que $30030=2\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13$ entonces cualesquiera números enteros mayores que $1$ cuyo producto sea $30030$ son distintos. Luego tomemos una terna cualquiera $(x,y,z)$ tal que $xyz=30030$. Para cada $(x,y...

Y no olvidarse de entregar la prueba!! Eso es mucho muy importante.

Supondremos que en efecto forman una progresión aritmética y procederemos por el absurdo. Digamos que $r$ es la ratio de la progresión. Si $d|r$, sabemos que todos los términos de la progresión son congruentes en módulo $d$. Luego, tomemos $2<p<2n$ primo. Es claro que en el intervalo $[1, 2n]$ hay ...

Tomando módulo $2$ es evidente que $p\equiv 1(mod2)$. Tomando módulo $4$, sabemos que $p^2\equiv 1(mod4) \Leftrightarrow 2019+p^2\equiv 0(mod4)$, luego $26\times (q^2+r^2+s^2)$ es múltiplo de 4, luego $q^2+r^2+s^2$ es par, luego o bien uno es par, o bien los tres lo son. Descartamos rápido el caso ...

Gianni De Rico escribió: ↑

Sab 31 Ago, 2019 9:43 pm

Provincial 2014 N1 P2

Incluso la generalización es el 6 de SelCono de Argentina de este año

Una lista infinita de números naturales comienza con $9$. El siguiente al centésimo número es $609$. Se sabe que cada número, salvo el primero, es el promedio de los dos adyacentes a él, el anterior y el que sigue. a) ¿$2019$ está en esa lista de números? b) ¿Cuántas parejas de números distintos, co...

Sean $a, b, c$ enteros positivos tales que $ab$ es divisible por $2c$, $bc$ es divisible por $3a$ y $ca$ es divisible por $5b$.
Encuentra el menor valor posible de $abc$.