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memeimo.png Challenge accepted. Que conste que no me enorgullece esto. $a<\frac{1}{2}$ $(3-2a)a-1=-2a^2+3a-1=2(a-1)(\frac{1}{2}-a)<0 \Longrightarrow (3-2a)a<1 \Longrightarrow (a+2b+3c+4d)a^ ab^bc^cd^d\leq (a+3b+3c+3d)a^aa^ba^ca^d=(3-2a)a<1$ $a\geq\frac{1}{2}$ $1-a>b\geq c\geq d\Longrightarrow (a+2b...

Más allá de lo poco estético y poco amigable que sea el problema, creo que en el fondo tiene buenas ideas... Vamos a partir la solución en dos grandes pasos: El primero va a ser una simplificación del enunciado y el segundo va a ser la solución propiamente dicha. Primero lo primero y dicho sin amba...

Estaban tardando mucho $\Longrightarrow$ me encargo yo así que va uno facilito y de GeomeTNía. Problema 167: El triángulo acutángulo $ABC$ tiene circuncentro $O$. Sean $A_1, B_1, C_1$ los puntos donde los diámetros del circuncírculo por $A,B,C$ cortan a $BC, CA, AB$ respectivamente. Si el circunradi...

Solución: Sea $k>n^2-n$. Tomemos los teleféricos de una sola compañía, WLOG $A$. Es claro que hay como mucho $n-1$ estaciones de las cuales no sale ningún teleférico, y como mucho $n-1$ a las cuales no entra ninguno. Luego habrá a lo sumo $n-1$ "cadenas" (donde dos estaciones pertenecen a la misma ...

Solución: Sean $a_1\leq a_2\leq \ldots \leq a_n$ los números en las cartas. Es claro que tanto la media aritmética como la geométrica son homogéneas y del mismo grado, por lo que podemos dividir a cada número por $\gcd (a_1,a_2,\ldots ,a_n)$ y suponer directamente que $\gcd (a_1,a_2,\ldots ,a_n)=1$...

Solución 1: (La solución inteligente se la dejo a Brunzo ) Por AM-GM con pesas $a, b, c, d$, vemos que $a^ab^bc^cd^d\leq a^2+b^2+c^2+d^2$. Además: $$0<(ab^2-db^2)+(ba^2-da^2)+(bc^2-dc^2)+(ab^2-b^3)+2(ac-c^3)+3(abc-d^3)+2ac^2+2ad^2+bd^2+abc+6abd+6acd+6bcd=(a+b+c+d)^3-(a+2b+3c+4d)(a^2+b^2+c^2+d^2)=1-...

Solución: Sea $E$ la intersección de las bisectrices interiores de $P\widehat{D}A$ y $P\widehat{C}B$. Sean $P\widehat{A}D=\alpha$ y $P\widehat{B}C=\beta$. Tenemos $A\widehat{P}D=3\alpha$ y $B\widehat{P}C=3\beta$. Sean $N$ en $AD$ y $M$ en $BC$ tales que $A\widehat{P}N=\alpha$ y $B\widehat{P}N=\beta...

Pruebe que existe una constante positiva $c$ para la que se satisface la siguiente afirmación: Sea $n>1$ un entero y sea $\mathcal{S}$ un conjunto de $n$ puntos del plano tal que la distancia entre cualesquiera dos puntos diferentes de $\mathcal{S}$ es al menos $1$. Entonces existe una recta $\ell$ ...

Se tiene una baraja de $n>1$ cartas, con un entero positivo escrito en cada carta. La baraja tiene la propiedad de que la media aritmética de los números escritos en cada par de cartas es también la media geométrica de los números escritos en alguna colección de una o más cartas. ¿Para qué valores d...

Sea $n>1$ un entero. A lo largo de la pendiente de una montaña hay $n^2$ estaciones, todas a diferentes altitudes. Dos compañías de teleférico, $A$ y $B$, operan $k$ teleféricos cada una. Cada teleférico realiza el servicio desde una estación a otra de mayor altitud (sin paradas intermedias). Los te...