Se encontraron 219 coincidencias

por Sandy
Lun 08 Feb, 2021 1:26 am
Foro: Problemas Archivados de Álgebra
Tema: OFO 2021 Problema 15
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Re: OFO 2021 Problema 15

Solución: Si $f(a)=f(b)\Longrightarrow f(xf(a)-f(x))=f(xf(b)-f(x))\Longrightarrow 2f(x)+xa=2f(x)+xb\; \forall x\in \mathbb{R}\;\Longrightarrow a=b$. Si tomamos $x\neq 0,\; y=\frac{k-2f(x)}{x}$ tenemos $f(\text{cosa fea})=k$. Luego $f$ es biyectiva, por lo que existe $f^{-1}$. Tomando $x\neq 0, \; y...
por Sandy
Lun 08 Feb, 2021 1:25 am
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: OFO 2021 Problema 14
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Re: OFO 2021 Problema 14

Solución: Veamos un par de cosas antes de meternos de lleno: (1) $x-y\mid P(x)-P(y)$ En primer lugar, notemos que $x\equiv y (x-y)\Longrightarrow x^i\equiv y^i (x-y)\Longrightarrow x^i-y^i\equiv 0\;(x-y)$. Luego $P(x)-P(y)=\sum_{i=0}^{\infty}\;a_ix^i-\sum_{i=0}^{\infty}\;a_iy^i=a_0-a_0+\sum_{i=1}^{...
por Sandy
Lun 08 Feb, 2021 1:23 am
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: OFO 2021 Problema 13
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Re: OFO 2021 Problema 13

Solución: Si no fue mi favorito de esta OFO pega en el palo Para cada $k$, veremos que hay igual cantidad de $k$s en ambas listas. Esto es equivalente a ver que, para cada $k$, hay igual cantidad de segmentos que unen dos naranjas que segmentos que unen dos violetas. En el polígono de $2n$, es triv...
por Sandy
Lun 08 Feb, 2021 1:21 am
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: OFO 2021 Problema 16
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Re: OFO 2021 Problema 16

Solución: FIgura P16.JPG Sean: $M'\;\in PX\;/\;X\widehat{A}M'=P\widehat{A}B$. $F=EB\cap AC$ $O=$ centro de $(ABCD)=$ punto medio de $AB$. $J=EC\cap PX$. $N=DC\cap PX$ $A\widehat{E}B=A\widehat{D}B=90^\circ=180^\circ-A\widehat{D}B\Longrightarrow E\;\in\:(ABCD)$. $A\widehat{F}E=90^\circ-E\widehat{A}C=...
por Sandy
Lun 08 Feb, 2021 1:20 am
Foro: Problemas Archivados de Álgebra
Tema: OFO 2021 Problema 12
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Re: OFO 2021 Problema 12

Solución: Sea $P_k(x)=x^3*Q_k(x)+a_kx^2+b_kx+c_k$ el polinomio obtenido tras apretar $k$ veces la tecla, siendo $Q_k(x)$ un polinomio. $P_k(x)^2=(x^3Q_k(x)+a_kx^2+b_kx+c_k)^2$ $\Longrightarrow P_k(x)^2=x^3Q_k(x)(a_kx^2+b_kx+c_k)+a_kx^2(x^3Q_k(x)+a_kx^2+b_kx)+b_kx(x^3Q_k(x)+a_kx^2)+c_k(x^3Q_k(x))+(2...
por Sandy
Lun 08 Feb, 2021 1:18 am
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: OFO 2021 Problema 11
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Re: OFO 2021 Problema 11

Solución: Uno de los dos problemas que, si no fue mi preferido, pega en el palo Veremos que si $n$ es potencia de $2$ la respuesta es $2$, y si no lo es la respuesta es $3$. Veremos primero el método para llegar a $2$ o $3$, dependiendo del caso. Sea $a$ tal que $2^a\leq n<2^{a+1}$. Borraremos los ...
por Sandy
Lun 08 Feb, 2021 1:17 am
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: OFO 2021 Problema 10
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Re: OFO 2021 Problema 10

Solución: Figura P10.jpeg Notemos primero que $EF$ es diámetro de $(ABC)$, luego $E\widehat{A}F=90^\circ$. Además, $E\widehat{B}C=E\widehat{C}B\Longrightarrow E\widehat{A}B=E\widehat{A}C=30^\circ$. Luego $C\widehat{A}F=P\widehat{A}B=60^\circ$. Además, por ser $E'$ reflejo de $E$, tenemos que $E'\wi...
por Sandy
Lun 08 Feb, 2021 1:16 am
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: OFO 2021 Problema 9
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Re: OFO 2021 Problema 9

Solución: Sea $2^{n-1}n+1=k^2$. Notemos primero que $k>1$, pues $2^{n-1}n>0$. Tenemos $2^{n-1}n=(k+1)(k-1)$. $n=1$ claramente no cumple, pues $k$ sería $\sqrt{2}$, así que a partir de ahora $n>1$ y por lo tanto $2^{n-1}n$ es par. $k+1$ y $k-1$ tienen la misma paridad, luego uno será múltiplo de $4$...
por Sandy
Lun 08 Feb, 2021 1:15 am
Foro: Problemas Archivados de Álgebra
Tema: OFO 2021 Problema 8
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Re: OFO 2021 Problema 8

Solución: Supongamos que existe tal número. Claramente no puede haber ceros, pues el producto sería $0$ y la suma es al menos $15$. Sea $t$ la cantidad de dígitos $1$ que tiene. Como no importa el orden de los dígitos, asumamos que hay tres $5$, después $t$ $1$ y después un número de $2018-t$ cifra...
por Sandy
Lun 08 Feb, 2021 1:14 am
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: OFO 2021 Problema 7
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Re: OFO 2021 Problema 7

Solución: Sí, me avergüenzo de esta solución La figura en el centro fue pedido expreso de Joacoini Sean $F,\; X$ en $AC$ tales que $AF=FX=XC=AE$. Sean $D'$ el reflejo de $D$ por $L$ y $K$ la segunda intersección de $AL$ con el circuncírculo de $A\overset{\Delta}{B}C$. Notemos que $3=\frac{D'A}{DA}=...