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Juli lo hizo con álgebra, acá va con análisis $b=3-a$ $a^3 * (3-a) + (3-a)^3 * a = -2a^4+12a^3-27a^2+27a$ $f(a)=-2a^4+12a^3-27a^2+27a$ Derivamos e igualamos a 0 $f'(a)=-8a^3+36a^2-54a+27=0$ Los 3 valores de a que resuelven la ecuación son $a= 3/2 ; a= 3/2; a=3/2 $ (se puede tantear el primero con h...

$4594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594594...

Como $(n-1), n, (n+1)$ son coprimos dos a dos para $n \geq 2$ Un mínimo comentario; esto no es cierto. Son coprimos dos a dos para todo $n\geq 3$. Pero obviamente no te importa si $n-1$ y $n+1$ son coprimos entre sí, sino si son coprimos cada uno con $n$ (lo cual sí es cierto para todo $n$ natural)

Primero una observación: si un club es $k$-amigable entonces todos los subclubes incluidos en él lo son. Además, si todos los subclubes lo son, el club debe serlo (ya que incluye a todo grupo de $k$ personas posible). Entonces con ver que un club de $7$ personas $6$-amigable debe ser también $7$-am...

Para charo morencos que me dice que me critica por usar trigonometría Sea $P'$ al reflejo de $P$ por $M$. Notemos que $AP'CP$ es un paralelogramo; esto pasa porque $M$ es a la vez punto medio de $AC$ y de $PP'$, luego los triángulos $APM$ y $MP'C$ son congruentes, entonces $MP'C=MPA$, luego $P'C$ y ...

$O\hat{A}C=O\hat{C}A$ $A\hat{O}C=2\times A\hat{B}C$ $\Rightarrow O\hat{A}C=O\hat{C}A=90°-A\hat{B}C$ Supongamos que la mediatriz de la bisectriz $AD$ y la perpendicular desde $D$ se cortan en $E$. Supongamos además que $E$ queda del lado de $C$ con respecto a la bisectriz (¿hace falta que explique p...

En el 8), "algunos números" puede ser uno solo? O sea, si por ejemplo A={1,2,3}, el 1 y el 2 pertenecen a S?

Hago uso de mi derecho y me inscribo

Gianni De Rico escribió: ↑

Lun 16 Sep, 2019 9:14 am

Breve comentario técnico a la solución de arriba.
El polinomio nulo $P(x)=0$ no tiene grado, por lo que no cumple con los requisitos del problema.

Igual ya asumí que $P(x)=k$ no andaba porque dice que tiene grado mayor o igual que $1$

Caso 1: $P(0)=0$ y $n>1$ $P(x)=x\times \prod_{k=1}^{n-1} (x-P(k)) \Rightarrow P(1)=1\times \prod_{k=1}^{n-1} (1-P(k))$ Luego $\frac{P(1)}{1-P(1)}=\prod_{k=2}^{n-1} (1-P(k)) \in \mathbb{Z}$ Pero esto implica una de las siguientes $4$ cosas: a) $P(1)=0$ b) $1-P(1)=1$ c) $1-P(1)=-1$ d) $1-P(1)=0$ (est...