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Mi solución: https://www.youtube.com/watch?v=wr_OtpkU9zY Hola Mate, me alegra que postees una solución ya que nadie más propuso una y también me alegro cuando me acuerdo de tu cara de feliz cumpleaños cuando saliste campeón :lol: Me marean tantas prolongaciones ¿Las elegiste arbitrariamente o supus...

Sean $H$ y $G$ los contactos de la circunferencia con $AD$ y $AB$ respectivamente. Sea $J$ sobre $CD$, con $D$ entre $C$ y $J$, tal que $DJ=DH$. Sea $K$ sobre $CB$, con $B$ entre $C$ y $K$, tal que $BK=BG$. $CK=CB+BK=CB+BG=AD+(AB-AG)=AD+(DC-AH)=(AD-AH)+DC=DH+DC=DJ$, luego debe existir una circunfer...

Bueno me compliqué un poquito capaz Tomando $n=1$: $p\mid f(p-1)!f(1)+1\Longrightarrow p\nmid f(p-1)!\Longrightarrow f(p-1)<p$. Tomando en esto último $p=2$, nos queda $f(1)<2\Longrightarrow f(1)=1$. Luego $p\mid f(p-1)!+1\Longrightarrow f(p-1)!\equiv -1 (p)$ (1) Tomando $n=p-1$: $p\mid f(p-1)!f(p-...

Bueno me compliqué un poquito capaz Tomando $n=1$: $p\mid f(p-1)!f(1)+1\Longrightarrow p\nmid f(p-1)!\Longrightarrow f(p-1)<p$. Tomando en esto último $p=2$, nos queda $f(1)<2\Longrightarrow f(1)=1$. Luego $p\mid f(p-1)!+1\Longrightarrow f(p-1)!\equiv -1 (p)$ (1) Tomando $n=p-1$: $p\mid f(p-1)!f(p-1...

Sea $p$ un primo impar ($2f(p)\neq p^2$)en $(!)$, entonces, $2f(p)-p^2$ divide a $p^3$, lo que nos deja los siguientes casos... $2f(p)=p^2+1$ $2f(p)=p^2+p$ $2f(p)=2p^2$ que implica $f(p)=p^2$ $2f(p)=p^2+p^3$ Cuidado que nunca dice divisor positivo, entonces $2f(p)-p^2$ podría también ser $-1, -p, -...

En el problema $C$, $f(a)+f(b)-ab$ debe ser divisor positivo de $af(a)+bf(b)$?

Veo demasiadas soluciones rebuscadas por acá... Sea $FBA=FAB=FAD=FCD=DAE=EDA$ Vamos a separar esto en $5$ Claims : Claim 1: $D\in EX$ $DEA=180^{\circ}-2\alpha=180^{\circ}-FAE\Longrightarrow DE\parallel AF\Longrightarrow D\in XE$ Claim 2: $F\in BE$ $BFA\approx CDA$ luego hay una rotohomotecia que lle...

Is this Cono? Primero por comodidad vamos a buscar un $b$ tal que ${P(a), P(a+1), ..., P(a+b-1)}$ sea fragante , porque la verdad queda muy feo si no. Veamos lo siguiente: Supongamos que $p\mid P(a)$ y $p\mid P(a+k)$. $\Longrightarrow p\mid (2a+3k-1)P(a)+(k-2a-1)P(a+k)=k^3+3k$ Es claro que $P(n)\equ...

Sean $D, E$ puntos medios de $AB$ y $BC$, respectivamente. Sean $\omega_1, \omega_2$ las circunferencias con centros $D, E$ respectivamente. Sea $Q=\omega_1 \cap \omega_2$. $DE\parallel AC\Longrightarrow HQ\perp AC\Longrightarrow B\in HQ\Longrightarrow BA_1\times BA_2=BC_1\times BC_2\Longrightarrow...

Sean $A, B$ tales que $CQ\leq CP$, $O=PK\cap LQ$ y $X\in CR$ tal que $XC=XR$. $\alpha=ACR=ABR=RBC=RAB$ $QA=QC\Longrightarrow QAC=QCA=\alpha$ $PB=PC\Longrightarrow PBC=PCB=\alpha$ $QRA=CRA=CBA=PBA+\alpha=PBR$ (1) $PRB=CRB=CAB=QAB+\alpha=QAR$ (2) $ACR=BCR\Longrightarrow AR=BR$ (3) $\overset{(1)(2)(3)...