Se encontraron 316 coincidencias

por BrunZo
Sab 10 Abr, 2021 8:19 pm
Foro: Problemas
Tema: Maratón de Problemas
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Re: Maratón de Problemas

Vamos a usar el siguiente minilema: Minilema: Dadas constantes $A\neq B$, la cantidad de soluciones enteras de $X^2-A=Y^2-B$ es finita. Demostración: La igualdad es equivalente a $A-B=X^2-Y^2=(X-Y)(X+Y)$. Sea $p=X-Y, q=X+Y$, entonces vale que $X=\frac{p+q}{2}$ e $Y=\frac{q-p}{2}$ que es solución so...
por BrunZo
Vie 19 Mar, 2021 6:12 pm
Foro: Geometría
Tema: Trisección de un segmento
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Re: Trisección de un segmento

Parecido a: Sea $\Gamma$ una circunferencia de diámetro $AB$ y sean $A'$ y $B'$ en el segmento $AB$ tales que $AA'=BB'<AB/2$. La perpendicular a $AB$ por $A'$ corta a la circunferencia de diámetro $AB'$ y a $\Gamma$ en $P$ y $Q$, respectivamente. La bisectriz de $A\hat{P}Q$ corta al circuncírculo de...
por BrunZo
Vie 05 Mar, 2021 9:23 pm
Foro: Geometría
Tema: Maratón de Problemas de Geometría
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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Perdón por hacer esto, pero creo que esta solución del 199 es un poco más relajada (y el comentario, bueno, no sé...): Solución 199: El único paso que se me hace conceptualmente difícil de evitar es que $A$, $G$ y $J$ son colineales. A partir de ahí, las cosas son claras como el agua... Problema 199...
por BrunZo
Jue 04 Mar, 2021 11:42 pm
Foro: Geometría
Tema: Cuadrilatero equilico
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Re: Cuadrilatero equilico

Solo digo esto: Notemos que la condición de ángulos es lo mismo que $B\hat{M}C=60^{\circ}$. Vamos a probar que $KJL$ están en la bisectriz exterior de $B\hat{M}C$: como $B\hat{M}C=B\hat{J}C=60^{\circ}$, así que $BCJM$ es cíclico, de donde $C\hat{M}J=C\hat{B}J=60^{\circ}$. Con esto se ve que $J$ está...
por BrunZo
Lun 01 Mar, 2021 6:33 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Más trazos, menos trigonometría
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Re: Más trazos, menos trigonometría

Muy bello (Perdón por no poner imagen, el lector interesado podrá imaginarse fácilmente la figura) Sea $E$ el punto en $BD$ tal que $AD=AE$. Por esto último, vale que $A\hat{E}D=A\hat{D}E=8x$, por lo que $B\hat{A}E=A\hat{E}D-A\hat{B}E=8x-4x=4x$, de donde $AD=AE=BE$. Sea $F$ tal que $CF=DF=AE=BE$. Co...
por BrunZo
Lun 01 Mar, 2021 6:06 pm
Foro: Geometría
Tema: Otro de geometría
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Re: Otro de geometría

Bellísimo No como mi solución, que es horrible geogebra-export.png Bueno, la clave va a estar en el siguiente lema conocido: Lemote: En un triángulo $ACD$, sean $B$ y $M$ en $AD$ los puntos de contacto del incírculo y el excírculo correspondiente. Entonces, $CB$ contiene al reflejo de $M$ por el inc...
por BrunZo
Jue 25 Feb, 2021 5:52 pm
Foro: Geometría
Tema: Ángulos en 1:2:4 y CD=2AB
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Re: Ángulos en 1:2:4 y CD=2AB

No estaba tan seguro si subir esto hasta que el Turko hizo lo que hizo. Al fin y al cabo, es solo una reducción de la solución de Joa (que está muy buena!) El problema es raro, sí... lo más raro de todo es la posición de los ángulos de $4\alpha$ y $2\alpha$ (llamo $\alpha$ al $A\hat{C}B$). Es tan pe...
por BrunZo
Mié 24 Feb, 2021 7:57 pm
Foro: Algebra
Tema: Desigualdad con mínimos
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Desigualdad con mínimos

Sea $n$ un entero positivo y sean $a_1, a_2, \dots, a_n$ y $b_1, b_2, \dots, b_n$ reales no negativos. Demostrar que $$\sum_{1\leq i,j\leq n}{\min\,\{a_ia_j,\, b_ib_j\}}\leq \sum_{1\leq i,j\leq n}{\min\,\{a_ib_j,\, a_jb_i\}}$$ donde $\min\,\{x,\, y\}$ denota al menor número entre $x$ e $y$. Nota : L...
por BrunZo
Mié 24 Feb, 2021 7:55 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Dos polígonos regulares intersecados, probar que la mitad de las diagonales concurren.
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Dos polígonos regulares intersecados, probar que la mitad de las diagonales concurren.

Los lados de un $200$-ágono convexo $A_1A_2A_3\dots A_{200}$ se colorean alternadamente de rojo y azul. Supongamos que las extensiones de los lados azules definen un $100$-ágono regular, y las de los rojos también. Probar que las cincuenta diagonales $A_1A_{101}, A_3A_{103}, A_5A_{105},…, A_{99}A_{1...
por BrunZo
Mié 24 Feb, 2021 7:53 pm
Foro: Algebra
Tema: Ordenar los naturales tal que suma de consecutivos sea cuadrado
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Ordenar los naturales tal que suma de consecutivos sea cuadrado

Determinar si existe una permutación de los enteros positivos tal que la suma de cualesquiera dos elementos consecutivos sea un cuadrado perfecto. Nota : Una permutación de los enteros positivos es cualquier sucesión infnita $a_1,a_2,a_3,...$ tal que para todo $k$ entero positivo existe un único $i$...