Se encontraron 85 coincidencias

por BrunZo
Lun 10 Jun, 2019 7:17 pm
Foro: Problemas
Tema: XI Torneo de las ciudades Otoño 2018 Norte-Nivel Juvenil Problema 7
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Re: XI Torneo de las ciudades Otoño 2018 Norte-Nivel Juvenil Problema 7

Solución: (botánica) Interpretemos el problema como un grafo. Es claro que una ciudad es simple o compleja dependiendo de si el grafo es un árbol o si tiene ciclos (respectivamente). Parte a. El grafo en cuestión es un árbol. Tomamos un nodo raíz $N$ y colocamos las direcciones de modo que todos lo...
por BrunZo
Lun 10 Jun, 2019 5:43 pm
Foro: Problemas
Tema: XI Torneo de las ciudades Otoño 2018 Norte-Nivel Juvenil Problema 5
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Re: XI Torneo de las ciudades Otoño 2018 Norte-Nivel Juvenil Problema 5

Solución: Lema: Sea $X=AC\cap BD$. $CXOD$ es cíclico. Demostración: $\angle COD=\angle CXD=2\angle CAD$. Sean $L$, $M$ y $N$ los puntos medios de $BA$, $BE$ y $BD$. Ahora, $BM\perp MQ\land BN\perp NQ\Longrightarrow\angle MQN=\angle MBN=\angle OBD$. Además, por el Lema, $\angle XCO=\angle XDO=\angle...
por BrunZo
Dom 02 Jun, 2019 6:47 pm
Foro: Teoría de Numeros
Tema: IMO 2005 - P2
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Re: IMO 2005 - P2

Solución: Asumamos, WLOG, que $a_1=0$ (puesto que restamos $a_1$ de todos los términos de la sucesión, y ambas propiedades se siguen cumpliendo). Es claro que $a_i\neq a_j$ para $i\neq j$. Sabemos que $0=a_1\not\equiv a_n\mod m\iff m\not\mid a_n$ para todo $m\geq n$. De este modo, $a_n\in (-n,n)$. ...
por BrunZo
Sab 25 May, 2019 10:09 am
Foro: Problemas Archivados
Tema: IMO 2009 Problema 4
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Re: IMO 2009 Problema 4

Solución: Vamos a introducir la proyección $P$ del incentro $I$ en $AC$. Notemos que $K$ es el incentro de $CDIP$, por lo que $\angle CPK=\angle IPK=45^{\circ}$. Si $\angle A\neq 60^{\circ}$, entonces $P\neq E$, de modo que $\angle IPK=45^{\circ}=\angle BEK=\angle IEK$ implica que $EKIP$ es cíclico...
por BrunZo
Vie 24 May, 2019 11:00 pm
Foro: Geometría
Tema: Problema 5 Cono Sur 2018
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Re: Problema 5 Cono Sur 2018

Solución:
Spoiler: mostrar
Es claro que $\angle BOC=\angle BIC=120^{\circ}$, de modo que $B$, $I$, $O$, $C$ son concíclicos. Además, $\angle BO'C=60^{\circ}$, por lo que $BO'C$ es equilátero. Finalemnte, por Ptolomeo $BI\cdot CO'+CI\cdot BO'=O'I\cdot BC\Longrightarrow BI+CI=O'I$ (ver Teorema de Van Schooten)
por BrunZo
Vie 24 May, 2019 10:32 pm
Foro: Geometría
Tema: IMO 2001 - P1
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Re: IMO 2001 - P1

Solución: Sea $M$ el punto medio de $BC$ y $H$ el ortocentro de $ABC$. Notemos que $$\angle HAO=\angle C-\angle B\geq 30^{\circ}$$ Es sabido que la cuerda correspondiente al ángulo $\angle HAO$ mide el doble de $PM$ (las intersecciones de $AH$ y $AO$ con el circuncírculo son los reflejos de $H$ por...
por BrunZo
Vie 24 May, 2019 9:27 pm
Foro: Geometría
Tema: IMO 2003 - P4
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Re: IMO 2003 - P4

Solución: Primero, notemos que, usando el teorema del seno en $PDQ$ y $QDR$, tenemos $$PQ=QR\Longleftrightarrow CD\cdot\sin\angle C=AD\cdot\sin\angle A\Longleftrightarrow\frac{CD}{AD}=\frac{\sin\angle A}{\sin\angle C}=\frac{BC}{AB}\Longleftrightarrow AB\cdot CD=BC\cdot AD$$ Segundo, notemos que si ...
por BrunZo
Vie 24 May, 2019 4:59 pm
Foro: Problemas
Tema: Intercolegial 2019 N3 P2
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Re: Intercolegial 2019 N3 P2

PD: un amigo de Santa Rosa me acaba de decir que él y un profe interpretaron que los términos de la progresión aritmética no necesariamente son consecutivos... Definitivamente no es así el problema. Si fuese así, podríamos decir que los tres números enteros $A-5$, $B-12$ y $C-47$ son términos de un...
por BrunZo
Jue 23 May, 2019 10:50 pm
Foro: Problemas
Tema: Intercolegial 2019 N3 P2
Respuestas: 12
Vistas: 874

Re: Intercolegial 2019 N3 P2

No voy a escribir mi solución porque no me dan los caracteres pero voy a dar una aclaración. Respecto al problema Que $a<b<c$ no quiere decir que $a-5<b-12<c-47$ por lo que no sabes con cual comienza la sucesión aritmética y no podes asumir que $b-12$ es el segundo termino para obtener luego que $b...
por BrunZo
Jue 23 May, 2019 10:33 pm
Foro: Geometría
Tema: Intercolegial 2019 - N2 P3
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Vistas: 324

Re: Intercolegial 2019 - N2 P3

Solución: Digamos $\angle DAE=\alpha$. Calculamos: $\angle BCF=\angle BCA=45^{\circ}$. $\angle BAE=90^{\circ}-\alpha$. $\angle ABE=180^{\circ}-2(90^{\circ}-\alpha)=2\alpha$. $\angle CBF=90^{\circ}-\angle ABE=90^{\circ}-2\alpha$. $\angle BFC=\angle ABE+\angle BAC=2\alpha+45^{\circ}$. O sea, $$(\angl...